Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} e^{- x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x^{2}$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Mova $x$ .

$x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.4.3

Some $1$ e $2$ .

$x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.5

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- x^{2}}$ .

$x^{3} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)$

Etapa 1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Reordene os termos.

$- 2 e^{- x^{2}} x^{3} + 2 e^{- x^{2}} x$

Etapa 1.7.2

Reordene os fatores em $- 2 e^{- x^{2}} x^{3} + 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{3} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3} e^{- x^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{3} e^{- x^{2}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.8

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.8.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 2 (x^{1 + 3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.8.3

Some $1$ e $3$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.9

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x e^{- x^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x e^{- x^{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{- x^{2}})$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Etapa 2.3.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Etapa 2.3.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Etapa 2.3.9

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Etapa 2.3.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Etapa 2.3.11

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Etapa 2.3.12

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Etapa 2.3.13

Multiplique $e^{- x^{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

Etapa 2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) + 2 e^{- x^{2}}$

Etapa 2.4.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{4} (e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) + 2 e^{- x^{2}}$

Etapa 2.4.3.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 6 (e^{- x^{2}} (x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) + 2 e^{- x^{2}}$

Etapa 2.4.3.3

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 6 e^{- x^{2}} x^{2} - 4 (x^{2} (e^{- x^{2}})) + 2 e^{- x^{2}}$

Etapa 2.4.3.4

Subtraia $4 x^{2} e^{- x^{2}}$ de $- 6 e^{- x^{2}} x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.4.1

Mova $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 6 x^{2} e^{- x^{2}} - 4 x^{2} e^{- x^{2}} + 2 e^{- x^{2}}$

Etapa 2.4.3.4.2

Subtraia $4 x^{2} e^{- x^{2}}$ de $- 6 x^{2} e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 10 x^{2} e^{- x^{2}} + 2 e^{- x^{2}}$

Etapa 2.4.4

Reordene os termos.

$f'' (x) = 4 e^{- x^{2}} x^{4} - 10 e^{- x^{2}} x^{2} + 2 e^{- x^{2}}$

Etapa 2.4.5

Reordene os fatores em $4 e^{- x^{2}} x^{4} - 10 e^{- x^{2}} x^{2} + 2 e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 10 x^{2} e^{- x^{2}} + 2 e^{- x^{2}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x^{2}$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Mova $x$ .

$x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.4.3

Some $1$ e $2$ .

$x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.5

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- x^{2}}$ .

$x^{3} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)$

Etapa 4.1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.1

Reordene os termos.

$- 2 e^{- x^{2}} x^{3} + 2 e^{- x^{2}} x$

Etapa 4.1.7.2

Reordene os fatores em $- 2 e^{- x^{2}} x^{3} + 2 e^{- x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$ .

$- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}} = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $2 x e^{- x^{2}}$ de $- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore $2 x e^{- x^{2}}$ de $- 2 x^{3} e^{- x^{2}}$ .

$2 x e^{- x^{2}} (- x^{2}) + 2 x e^{- x^{2}} = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $2 x e^{- x^{2}}$ de $2 x e^{- x^{2}}$ .

$2 x e^{- x^{2}} (- x^{2}) + 2 x e^{- x^{2}} (1) = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $2 x e^{- x^{2}}$ de $2 x e^{- x^{2}} (- x^{2}) + 2 x e^{- x^{2}} (1)$ .

$2 x e^{- x^{2}} (- x^{2} + 1) = 0$

Etapa 5.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$2 x e^{- x^{2}} (- x^{2} + 1^{2}) = 0$

Etapa 5.2.3

Reordene $- x^{2}$ e $1^{2}$ .

$2 x e^{- x^{2}} (1^{2} - x^{2}) = 0$

Etapa 5.2.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$2 x e^{- x^{2}} ((1 + x) (1 - x)) = 0$

Etapa 5.2.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 x e^{- x^{2}} (1 + x) (1 - x) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$e^{- x^{2}} = 0$

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Etapa 5.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $e^{- x^{2}}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $e^{- x^{2}}$ como igual a $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $e^{- x^{2}} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- x^{2}}) = \ln (0)$

Etapa 5.5.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 5.5.2.3

Não há uma solução para $e^{- x^{2}} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 5.6

Defina $1 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Defina $1 + x$ como igual a $0$ .

$1 + x = 0$

Etapa 5.6.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 5.7

Defina $1 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Defina $1 - x$ como igual a $0$ .

$1 - x = 0$

Etapa 5.7.2

Resolva $1 - x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x = - 1$

Etapa 5.7.2.2

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.7.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.7.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Etapa 5.8

A solução final são todos os valores que tornam $2 x e^{- x^{2}} (1 + x) (1 - x) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1, 1$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, - 1, 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$4 {(0)}^{4} e^{- {(0)}^{2}} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 \cdot 0 e^{- {(0)}^{2}} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$0 e^{- {(0)}^{2}} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 9.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 e^{- 0} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 9.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 e^{0} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 9.1.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 \cdot 1 - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 9.1.6

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 9.1.7

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 10 \cdot 0 e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 9.1.8

Multiplique $- 10$ por $0$ .

$0 + 0 e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 9.1.9

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 0 e^{- 0} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 9.1.10

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 9.1.11

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 9.1.12

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 + 0 + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 9.1.13

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 0 + 2 e^{- 0}$

Etapa 9.1.14

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 + 0 + 2 e^{0}$

Etapa 9.1.15

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

Etapa 9.1.16

Multiplique $2$ por $1$ .

$0 + 0 + 2$

Etapa 9.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 2$

Etapa 9.2.2

Some $0$ e $2$ .

$2$

Etapa 10

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 11.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 e^{- 0}$

Etapa 11.2.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Etapa 11.2.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Etapa 11.2.5

Multiplique $0$ por $1$ .

$f (0) = 0$

Etapa 11.2.6

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$4 {(- 1)}^{4} e^{- {(- 1)}^{2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$4 \cdot 1 e^{- {(- 1)}^{2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Etapa 13.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 e^{- {(- 1)}^{2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Etapa 13.1.3

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$4 e^{{(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Etapa 13.1.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 e^{{(- 1)}^{1 + 2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Etapa 13.1.3.2

Some $1$ e $2$ .

$4 e^{{(- 1)}^{3}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Etapa 13.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$4 e^{- 1} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Etapa 13.1.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Etapa 13.1.6

Combine $4$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Etapa 13.1.7

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{4}{e} - 10 \cdot 1 e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Etapa 13.1.8

Multiplique $- 10$ por $1$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Etapa 13.1.9

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.9.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.9.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{{(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Etapa 13.1.9.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4}{e} - 10 e^{{(- 1)}^{1 + 2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Etapa 13.1.9.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{{(- 1)}^{3}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Etapa 13.1.10

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{- 1} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Etapa 13.1.11

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e} - 10 \frac{1}{e} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Etapa 13.1.12

Combine $- 10$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} + \frac{- 10}{e} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Etapa 13.1.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Etapa 13.1.14

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.14.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.14.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{{(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

Etapa 13.1.14.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{{(- 1)}^{1 + 2}}$

Etapa 13.1.14.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{{(- 1)}^{3}}$

Etapa 13.1.15

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- 1}$

Etapa 13.1.16

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 \frac{1}{e}$

Etapa 13.1.17

Combine $2$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + \frac{2}{e}$

Etapa 13.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 - 10 + 2}{e}$

Etapa 13.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.2.1

Subtraia $10$ de $4$ .

$\frac{- 6 + 2}{e}$

Etapa 13.2.2.2

Some $- 6$ e $2$ .

$\frac{- 4}{e}$

Etapa 13.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{e}$

Etapa 14

$x = - 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = 1 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Etapa 15.2.2

Multiplique $e^{- {(- 1)}^{2}}$ por $1$ .

$f (- 1) = e^{- {(- 1)}^{2}}$

Etapa 15.2.3

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- 1) = e^{{(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

Etapa 15.2.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- 1) = e^{{(- 1)}^{1 + 2}}$

Etapa 15.2.3.2

Some $1$ e $2$ .

$f (- 1) = e^{{(- 1)}^{3}}$

Etapa 15.2.4

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- 1) = e^{- 1}$

Etapa 15.2.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{e}$

Etapa 15.2.6

A resposta final é $\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$4 {(1)}^{4} e^{- {(1)}^{2}} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 \cdot 1 e^{- {(1)}^{2}} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Etapa 17.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 e^{- {(1)}^{2}} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Etapa 17.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 e^{- 1 \cdot 1} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Etapa 17.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 e^{- 1} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Etapa 17.1.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Etapa 17.1.6

Combine $4$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Etapa 17.1.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{4}{e} - 10 \cdot 1 e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Etapa 17.1.8

Multiplique $- 10$ por $1$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Etapa 17.1.9

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{4}{e} - 10 e^{- 1 \cdot 1} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Etapa 17.1.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{- 1} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Etapa 17.1.11

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e} - 10 \frac{1}{e} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Etapa 17.1.12

Combine $- 10$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} + \frac{- 10}{e} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Etapa 17.1.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Etapa 17.1.14

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- 1 \cdot 1}$

Etapa 17.1.15

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- 1}$

Etapa 17.1.16

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 \frac{1}{e}$

Etapa 17.1.17

Combine $2$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + \frac{2}{e}$

Etapa 17.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 - 10 + 2}{e}$

Etapa 17.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.2.1

Subtraia $10$ de $4$ .

$\frac{- 6 + 2}{e}$

Etapa 17.2.2.2

Some $- 6$ e $2$ .

$\frac{- 4}{e}$

Etapa 17.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{e}$

Etapa 18

$x = 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um máximo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}}$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 1 e^{- {(1)}^{2}}$

Etapa 19.2.2

Multiplique $e^{- {(1)}^{2}}$ por $1$ .

$f (1) = e^{- {(1)}^{2}}$

Etapa 19.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = e^{- 1 \cdot 1}$

Etapa 19.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = e^{- 1}$

Etapa 19.2.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = \frac{1}{e}$

Etapa 19.2.6

A resposta final é $\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{2} e^{- x^{2}}$ .

$(0, 0)$ é um mínimo local

$(- 1, \frac{1}{e})$ é um máximo local

$(1, \frac{1}{e})$ é um máximo local

Etapa 21