Cálculo Exemplos

$e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$

Etapa 1

Escreva $e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$ como uma função.

$f (x) = e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)}) d x$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Multiplique por $1$ .

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x) \cdot 1}) d x$

Etapa 4.1.2

Separe as frações.

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}) d x$

Etapa 4.1.3

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ em $\sec^{2} (x)$ .

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{1} \sec^{2} (x)) d x$

Etapa 4.1.4

Divida $e^{- x}$ por $1$ .

$\int e^{x} (2 + e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int e^{x} \cdot 2 + e^{x} (e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

Etapa 4.3

Mova $2$ para a esquerda de $e^{x}$ .

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{x} (e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

Etapa 4.4

Multiplique $e^{x}$ por $e^{- x}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Mova $e^{- x}$ .

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{- x} e^{x} \sec^{2} (x) d x$

Etapa 4.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{- x + x} \sec^{2} (x) d x$

Etapa 4.4.3

Some $- x$ e $x$ .

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{0} \sec^{2} (x) d x$

Etapa 4.5

Simplifique $e^{0} \sec^{2} (x)$ .

$\int 2 e^{x} + \sec^{2} (x) d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 e^{x} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 6

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int e^{x} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 7

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$2 (e^{x} + C) + \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 8

Como a derivada de $\tan (x)$ é $\sec^{2} (x)$ , a integral de $\sec^{2} (x)$ é $\tan (x)$ .

$2 (e^{x} + C) + \tan (x) + C$

Etapa 9

Simplifique.

$2 e^{x} + \tan (x) + C$

Etapa 10

A resposta é a primitiva da função $f (x) = e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$ .

$F (x) =$ $2 e^{x} + \tan (x) + C$