Cálculo Exemplos

${(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$

Etapa 1

Escreva ${(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$ como uma função.

$f (x) = {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2} d x$

Etapa 4

Aplique a regra do produto a $\frac{x^{2} + 1}{x}$ .

$\int \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Etapa 5

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 6

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} x^{- 2} d x$

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} x^{- 2} d x$

Etapa 7

Expanda ${(x^{2} + 1)}^{2} x^{- 2}$ .

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Etapa 7.1

Reescreva ${(x^{2} + 1)}^{2}$ como $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\int (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x^{- 2} d x$

Etapa 7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x^{- 2} d x$

Etapa 7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

Etapa 7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1) x^{- 2} + (1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

Etapa 7.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot 1 x^{- 2} + (1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

Etapa 7.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot 1 x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Etapa 7.8

Reordene $x^{2}$ e $1$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Etapa 7.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{2 + 2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Etapa 7.10

Some $2$ e $2$ .

$\int x^{4} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Etapa 7.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{4 - 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Etapa 7.12

Subtraia $2$ de $4$ .

$\int x^{2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Etapa 7.13

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\int x^{2} + x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Etapa 7.14

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{2} + x^{2 - 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Etapa 7.15

Subtraia $2$ de $2$ .

$\int x^{2} + x^{0} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Etapa 7.16

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Etapa 7.17

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\int x^{2} + 1 + x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Etapa 7.18

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{2} + 1 + x^{2 - 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Etapa 7.19

Subtraia $2$ de $2$ .

$\int x^{2} + 1 + x^{0} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Etapa 7.20

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Etapa 7.21

Multiplique $1$ por $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + 1 x^{- 2} d x$

Etapa 7.22

Multiplique $x^{- 2}$ por $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + x^{- 2} d x$

Etapa 7.23

Some $1$ e $1$ .

$\int x^{2} + 2 + x^{- 2} d x$

Etapa 7.24

Reordene $2$ e $x^{- 2}$ .

$\int x^{2} + x^{- 2} + 2 d x$

$\int x^{2} + x^{- 2} + 2 d x$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{2} d x + \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C + \int 2 d x$

Etapa 11

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C + 2 x + C$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Simplifique.

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

Etapa 12.2

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

Etapa 13

A resposta é a primitiva da função $f (x) = {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$