Cálculo Exemplos

$(\sin (x)) e^{- x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$\sin (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sin (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\sin (x) (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$\sin (x) (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.3.3

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$\sin (x) (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\sin (x) (- e^{- x}) + e^{- x} \cos (x)$

Etapa 5

Reordene os termos.

$- e^{- x} \sin (x) + e^{- x} \cos (x)$