Cálculo Exemplos

$x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2} = 1$ , $(1, 0)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = 0$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 1.2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x y$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.3.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y) + 2 x$

Etapa 1.2.5

Simplifique.

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Etapa 1.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y') - 2 y + 2 x$

Etapa 1.2.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 x y' - 2 y + 2 x$

Etapa 1.2.5.3

Reordene os termos.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 x y' + 2 x - 2 y$

Etapa 1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 x y' + 2 x - 2 y = 0$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.5.1.1

Subtraia $2 y^{2} x$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} y y' - 2 x y' + 2 x - 2 y = - 2 y^{2} x$

Etapa 1.5.1.2

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} y y' - 2 x y' - 2 y = - 2 y^{2} x - 2 x$

Etapa 1.5.1.3

Some $2 y$ aos dois lados da equação.

$2 x^{2} y y' - 2 x y' = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

Etapa 1.5.2

Fatore $2 x y'$ de $2 x^{2} y y' - 2 x y'$ .

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Etapa 1.5.2.1

Fatore $2 x y'$ de $2 x^{2} y y'$ .

$2 x y' (x y) - 2 x y' = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

Etapa 1.5.2.2

Fatore $2 x y'$ de $- 2 x y'$ .

$2 x y' (x y) + 2 x y' \cdot - 1 = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

Etapa 1.5.2.3

Fatore $2 x y'$ de $2 x y' (x y) + 2 x y' \cdot - 1$ .

$2 x y' (x y - 1) = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

Etapa 1.5.3

Divida cada termo em $2 x y' (x y - 1) = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$ por $2 x (x y - 1)$ e simplifique.

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Etapa 1.5.3.1

Divida cada termo em $2 x y' (x y - 1) = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$ por $2 x (x y - 1)$ .

$\frac{2 x y' (x y - 1)}{2 x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x y' (x y - 1)}{2 x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x y' (x y - 1)}{x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y' (x y - 1)}{x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.2.3

Cancele o fator comum de $x y - 1$ .

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Etapa 1.5.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.3.1.1.1

Fatore $2$ de $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.3.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2 x (x y - 1)$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y^{2}}{x y - 1} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.1.4

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.3.1.4.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.3.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2 x (x y - 1)$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- x}{x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.1.5

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.3.1.5.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- x}{x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.1.5.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- 1}{x y - 1} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} - \frac{1}{x y - 1} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.1.7

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.3.1.7.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} - \frac{1}{x y - 1} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.1.7.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} - \frac{1}{x y - 1} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- y^{2} - 1}{x y - 1} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.3

Para escrever $\frac{- y^{2} - 1}{x y - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{- y^{2} - 1}{x y - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x y - 1) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.5.3.3.4.1

Multiplique $\frac{- y^{2} - 1}{x y - 1}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{(- y^{2} - 1) x}{(x y - 1) x} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.4.2

Reordene os fatores de $(x y - 1) x$ .

$y' = \frac{(- y^{2} - 1) x}{x (x y - 1)} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{(- y^{2} - 1) x + y}{x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.3.3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = \frac{- y^{2} x - 1 x + y}{x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.6.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y' = \frac{- y^{2} x - x + y}{x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.7

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.3.7.1

Fatore $- 1$ de $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x) - x + y}{x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.7.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x) - (x) + y}{x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.7.3

Fatore $- 1$ de $- (y^{2} x) - (x)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x + x) + y}{x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.7.4

Fatore $- 1$ de $y$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x + x) - 1 (- y)}{x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.7.5

Fatore $- 1$ de $- (y^{2} x + x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x + x - y)}{x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.7.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.5.3.3.7.6.1

Reescreva $- (y^{2} x + x - y)$ como $- 1 (y^{2} x + x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (y^{2} x + x - y)}{x (x y - 1)}$

Etapa 1.5.3.3.7.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y^{2} x + x - y}{x (x y - 1)}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x + x - y}{x (x y - 1)}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 1$ e $y = 0$ .

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Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$- \frac{y^{2} (1) + 1 - y}{(1) ((1) \cdot y - 1)}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $0$ na expressão.

$- \frac{{(0)}^{2} (1) + 1 - (0)}{(1) ((1) \cdot (0) - 1)}$

Etapa 1.7.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.7.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{0 \cdot 1 + 1 - (0)}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

Etapa 1.7.3.2

Multiplique $0$ por $1$ .

$- \frac{0 + 1 - (0)}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

Etapa 1.7.3.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- \frac{0 + 1 + 0}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

Etapa 1.7.3.4

Some $0 + 1$ e $0$ .

$- \frac{0 + 1}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

Etapa 1.7.3.5

Some $0$ e $1$ .

$- \frac{1}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

Etapa 1.7.4

Multiplique $(1) \cdot (0) - 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{(1) \cdot (0) - 1}$

Etapa 1.7.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.7.5.1

Multiplique $0$ por $1$ .

$- \frac{1}{0 - 1}$

Etapa 1.7.5.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$- \frac{1}{- 1}$

Etapa 1.7.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.7.6.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$- - 1$

Etapa 1.7.6.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $1$ e um ponto determinado $(1, 0)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 0 = 1 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Some $y$ e $0$ .

$y = 1 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.2

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$y = x - 1$

Etapa 3