Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{8 (x^{4} - 9)}{x^{2} - 3}$

Etapa 1

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x^{4} - 9}{x^{2} - 3}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$8 \frac{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{4} - 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \sqrt{3}$ .

$8 \frac{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{4} - lim_{x \to - \sqrt{3}} 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Etapa 2.1.2.1.2

Mova o expoente $4$ de $x^{4}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$8 \frac{{(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{4} - lim_{x \to - \sqrt{3}} 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Etapa 2.1.2.1.3

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \sqrt{3}$ .

$8 \frac{{(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- \sqrt{3}$ por $x$ .

$8 \frac{{(- \sqrt{3})}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{3}$ .

$8 \frac{{(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$8 \frac{1 {\sqrt{3}}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Etapa 2.1.2.3.1.3

Multiplique ${\sqrt{3}}^{4}$ por $1$ .

$8 \frac{{\sqrt{3}}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Etapa 2.1.2.3.1.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Etapa 2.1.2.3.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Etapa 2.1.2.3.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$8 \frac{3^{\frac{4}{2}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Etapa 2.1.2.3.1.4.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1.4.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$8 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Etapa 2.1.2.3.1.4.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1.4.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$8 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Etapa 2.1.2.3.1.4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$8 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Etapa 2.1.2.3.1.4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$8 \frac{3^{\frac{2}{1}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Etapa 2.1.2.3.1.4.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$8 \frac{3^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Etapa 2.1.2.3.1.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$8 \frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Etapa 2.1.2.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$8 \frac{9 - 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Etapa 2.1.2.3.2

Subtraia $9$ de $9$ .

$8 \frac{0}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \sqrt{3}$ .

$8 \frac{0}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - lim_{x \to - \sqrt{3}} 3}$

Etapa 2.1.3.1.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$8 \frac{0}{{(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{2} - lim_{x \to - \sqrt{3}} 3}$

Etapa 2.1.3.1.3

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \sqrt{3}$ .

$8 \frac{0}{{(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{2} - 1 \cdot 3}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- \sqrt{3}$ por $x$ .

$8 \frac{0}{{(- \sqrt{3})}^{2} - 1 \cdot 3}$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.3.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{3}$ .

$8 \frac{0}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 1 \cdot 3}$

Etapa 2.1.3.3.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$8 \frac{0}{1 {\sqrt{3}}^{2} - 1 \cdot 3}$

Etapa 2.1.3.3.1.3

Multiplique ${\sqrt{3}}^{2}$ por $1$ .

$8 \frac{0}{{\sqrt{3}}^{2} - 1 \cdot 3}$

Etapa 2.1.3.3.1.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.3.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{0}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1 \cdot 3}$

Etapa 2.1.3.3.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{0}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1 \cdot 3}$

Etapa 2.1.3.3.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$8 \frac{0}{3^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 3}$

Etapa 2.1.3.3.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.3.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$8 \frac{0}{3^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 3}$

Etapa 2.1.3.3.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$8 \frac{0}{3^{1} - 1 \cdot 3}$

Etapa 2.1.3.3.1.4.5

Avalie o expoente.

$8 \frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Etapa 2.1.3.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$8 \frac{0}{3 - 3}$

Etapa 2.1.3.3.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$8 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$8 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$8 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$8 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x^{4} - 9}{x^{2} - 3} = lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Etapa 2.3.4

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Etapa 2.3.5

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 2.3.8

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{2 x + 0}$

Etapa 2.3.9

Some $2 x$ e $0$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{2 x}$

Etapa 2.4

Reduza.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 \cdot 2 x^{3}}{2 x}$

Etapa 2.4.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 \cdot 2 x^{3}}{2 (x)}$

Etapa 2.4.1.2.2

Cancele o fator comum.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 \cdot 2 x^{3}}{2 x}$

Etapa 2.4.1.2.3

Reescreva a expressão.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 x^{3}}{x}$

Etapa 2.4.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Fatore $x$ de $2 x^{3}$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x \cdot 2 x^{2}}{x}$

Etapa 2.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x \cdot 2 x^{2}}{x^{1}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x \cdot 2 x^{2}}{x \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x \cdot 2 x^{2}}{x \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 x^{2}}{1}$

Etapa 2.4.2.2.5

Divida $2 x^{2}$ por $1$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} 2 x^{2}$

Etapa 3

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$8 \cdot 2 lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2}$

Etapa 3.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$8 \cdot 2 {(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{2}$

Etapa 4

Avalie o limite de $x$ substituindo $- \sqrt{3}$ por $x$ .

$8 \cdot 2 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique $8$ por $2$ .

$16 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Etapa 5.2

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{3}$ .

$16 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2})$

Etapa 5.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$16 (1 {\sqrt{3}}^{2})$

Etapa 5.4

Multiplique ${\sqrt{3}}^{2}$ por $1$ .

$16 {\sqrt{3}}^{2}$

Etapa 5.5

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 5.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 5.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Etapa 5.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1

Cancele o fator comum.

$16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Etapa 5.5.4.2

Reescreva a expressão.

$16 \cdot 3^{1}$

Etapa 5.5.5

Avalie o expoente.

$16 \cdot 3$

Etapa 5.6

Multiplique $16$ por $3$ .

$48$