Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \cot (- \frac{2 \sqrt{3} x}{π} + \csc (x) - \frac{π}{4})$

Etapa 1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\cot (lim_{x \to \frac{π}{3}} - \frac{2 \sqrt{3} x}{π} + \csc (x) - \frac{π}{4})$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{3}$ .

$\cot (- lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sqrt{3} x}{π} + lim_{x \to \frac{π}{3}} \csc (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{π}{4})$

Etapa 3

Mova o termo $\frac{2 \sqrt{3}}{π}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} \csc (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{π}{4})$

Etapa 4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a cossecante é contínua.

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + \csc (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{π}{4})$

Etapa 5

Avalie o limite de $\frac{π}{4}$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{π}{3}$ .

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + \csc (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - \frac{π}{4})$

Etapa 6

Avalie os limites substituindo $\frac{π}{3}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{3}$ por $x$ .

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} \cdot \frac{π}{3}) + \csc (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - \frac{π}{4})$

Etapa 6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{3}$ por $x$ .

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} \cdot \frac{π}{3}) + \csc (\frac{π}{3}) - \frac{π}{4})$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.1

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 7.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} \cdot \frac{π}{3}) + \csc (\frac{π}{3}) - \frac{π}{4})$

Etapa 7.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\cot (- (2 \sqrt{3} \frac{1}{3}) + \csc (\frac{π}{3}) - \frac{π}{4})$

Etapa 7.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$\cot (- (\frac{2}{3} \sqrt{3}) + \csc (\frac{π}{3}) - \frac{π}{4})$

Etapa 7.1.3

Combine $\frac{2}{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \csc (\frac{π}{3}) - \frac{π}{4})$

Etapa 7.1.4

O valor exato de $\csc (\frac{π}{3})$ é $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{π}{4})$

Etapa 7.1.5

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \frac{π}{4})$

Etapa 7.1.6

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 7.1.6.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - \frac{π}{4})$

Etapa 7.1.6.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} - \frac{π}{4})$

Etapa 7.1.6.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} - \frac{π}{4})$

Etapa 7.1.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} - \frac{π}{4})$

Etapa 7.1.6.5

Some $1$ e $1$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} - \frac{π}{4})$

Etapa 7.1.6.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 7.1.6.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{π}{4})$

Etapa 7.1.6.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{π}{4})$

Etapa 7.1.6.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - \frac{π}{4})$

Etapa 7.1.6.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.1.6.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - \frac{π}{4})$

Etapa 7.1.6.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} - \frac{π}{4})$

Etapa 7.1.6.6.5

Avalie o expoente.

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{π}{4})$

Etapa 7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\cot (\frac{- 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{3} + \frac{- π}{4})$

Etapa 7.3

Some $- 2 \sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$\cot (\frac{0}{3} + \frac{- π}{4})$

Etapa 7.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.4.1

Divida $0$ por $3$ .

$\cot (0 + \frac{- π}{4})$

Etapa 7.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cot (0 - \frac{π}{4})$

Etapa 7.5

Subtraia $\frac{π}{4}$ de $0$ .

$\cot (- \frac{π}{4})$

Etapa 7.6

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\cot (\frac{7 π}{4})$

Etapa 7.7

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a cotangente é negativa no quarto quadrante.

$- \cot (\frac{π}{4})$

Etapa 7.8

O valor exato de $\cot (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 7.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$