Cálculo Exemplos

$\int e^{8 θ} \sin (9 θ) d θ$

Etapa 1

Reordene $e^{8 θ}$ e $\sin (9 θ)$ .

$\int \sin (9 θ) e^{8 θ} d θ$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sin (9 θ)$ e $d v = e^{8 θ}$ .

$\sin (9 θ) (\frac{1}{8} e^{8 θ}) - \int \frac{1}{8} e^{8 θ} (9 \cos (9 θ)) d θ$

Etapa 3

Como $\frac{1}{8} \cdot 9$ é constante com relação a $θ$ , mova $\frac{1}{8} \cdot 9$ para fora da integral.

$\sin (9 θ) (\frac{1}{8} e^{8 θ}) - (\frac{1}{8} \cdot 9 \int e^{8 θ} (\cos (9 θ)) d θ)$

Etapa 4

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{8}$ e $e^{8 θ}$ .

$\sin (9 θ) \frac{e^{8 θ}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot 9 \int e^{8 θ} (\cos (9 θ)) d θ)$

Etapa 4.2

Combine $\sin (9 θ)$ e $\frac{e^{8 θ}}{8}$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot 9 \int e^{8 θ} (\cos (9 θ)) d θ)$

Etapa 4.3

Combine $\frac{1}{8}$ e $9$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} \int e^{8 θ} (\cos (9 θ)) d θ)$

Etapa 4.4

Reordene $e^{8 θ}$ e $\cos (9 θ)$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} \int \cos (9 θ) e^{8 θ} d θ)$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \cos (9 θ)$ e $d v = e^{8 θ}$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\cos (9 θ) (\frac{1}{8} e^{8 θ}) - \int \frac{1}{8} e^{8 θ} (- 9 \sin (9 θ)) d θ))$

Etapa 6

Como $\frac{1}{8} \cdot - 9$ é constante com relação a $θ$ , mova $\frac{1}{8} \cdot - 9$ para fora da integral.

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\cos (9 θ) (\frac{1}{8} e^{8 θ}) - (\frac{1}{8} \cdot - 9 \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)))$

Etapa 7

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{8}$ e $e^{8 θ}$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\cos (9 θ) \frac{e^{8 θ}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot - 9 \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)))$

Etapa 7.2

Combine $\cos (9 θ)$ e $\frac{e^{8 θ}}{8}$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\frac{\cos (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot - 9 \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)))$

Etapa 7.3

Combine $\frac{1}{8}$ e $- 9$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\frac{\cos (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)))$

Etapa 7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9}{8} \cdot \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9}{8} (- (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ))$

Etapa 7.5

Multiplique $\frac{\cos (9 θ) e^{8 θ}}{8}$ por $\frac{9}{8}$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{8 \cdot 8} - \frac{9}{8} (- (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ))$

Etapa 7.6

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1

Multiplique $8$ por $8$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} - \frac{9}{8} (- (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ))$

Etapa 7.6.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + 1 (\frac{9}{8}) (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)$

Etapa 7.6.3

Multiplique $\frac{9}{8}$ por $1$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + \frac{9}{8} (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)$

Etapa 7.7

Multiplique $\frac{- 9}{8}$ por $\frac{9}{8}$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + \frac{- 9 \cdot 9}{8 \cdot 8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ$

Etapa 7.8

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.1

Multiplique $- 9$ por $9$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + \frac{- 81}{8 \cdot 8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ$

Etapa 7.8.2

Multiplique $8$ por $8$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + \frac{- 81}{64} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ$

Etapa 8

Ao resolver $\int e^{8 θ} \sin (9 θ) d θ$ , descobrimos que $\int e^{8 θ} \sin (9 θ) d θ$ = $\frac{\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64}}{\frac{145}{64}}$ .

$\frac{\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64}}{\frac{145}{64}} + C$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Mova $9$ para a esquerda de $\cos (9 θ) e^{8 θ}$ .

$\frac{\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9 \cdot (\cos (9 θ) e^{8 θ})}{64}}{\frac{145}{64}} + C$

Etapa 9.1.1.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{145}{64}$ .

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}) \frac{64}{145} + C$

Etapa 9.1.2

Reescreva $(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}) \frac{64}{145} + C$ como $(\frac{1}{8} \sin (9 θ) e^{8 θ} - \frac{9}{64} \cos (9 θ) e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$ .

$(\frac{1}{8} \sin (9 θ) e^{8 θ} - \frac{9}{64} \cos (9 θ) e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$

Etapa 9.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.1

Combine $\frac{1}{8}$ e $\sin (9 θ)$ .

$(\frac{\sin (9 θ)}{8} e^{8 θ} - \frac{9}{64} \cos (9 θ) e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$

Etapa 9.1.3.2

Combine $\frac{\sin (9 θ)}{8}$ e $e^{8 θ}$ .

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9}{64} \cos (9 θ) e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$

Etapa 9.1.3.3

Combine $\cos (9 θ)$ e $\frac{9}{64}$ .

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) \cdot 9}{64} e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$

Etapa 9.1.3.4

Combine $e^{8 θ}$ e $\frac{\cos (9 θ) \cdot 9}{64}$ .

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{e^{8 θ} (\cos (9 θ) \cdot 9)}{64}) \frac{64}{145} + C$

Etapa 9.1.3.5

Mova $9$ para a esquerda de $\cos (9 θ)$ .

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{e^{8 θ} (9 \cos (9 θ))}{64}) \frac{64}{145} + C$

Etapa 9.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.1

Reordene os fatores em $\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8}$ .

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{e^{8 θ} (9 \cos (9 θ))}{64}) \frac{64}{145} + C$

Etapa 9.1.4.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.2.1

Reescreva.

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{e^{8 θ} (\cos (9 θ) \cdot 9)}{64}) \frac{64}{145} + C$

Etapa 9.1.4.2.2

Mova $9$ para a esquerda de $\cos (9 θ)$ .

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{e^{8 θ} (9 \cdot \cos (9 θ))}{64}) \frac{64}{145} + C$

Etapa 9.1.4.2.3

Remova os parênteses desnecessários.

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{e^{8 θ} \cdot 9 \cos (9 θ)}{64}) \frac{64}{145} + C$

Etapa 9.1.4.3

Mova $9$ para a esquerda de $e^{8 θ}$ .

$(\frac{1}{8} e^{8 θ} \sin (9 θ) - \frac{9}{64} e^{8 θ} \cos (9 θ)) \frac{64}{145} + C$

Etapa 9.2

Reescreva $(\frac{1}{8} e^{8 θ} \sin (9 θ) - \frac{9}{64} e^{8 θ} \cos (9 θ)) \frac{64}{145} + C$ como $(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}) \frac{64}{145} + C$ .

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}) \frac{64}{145} + C$

Etapa 9.3

Reordene os fatores em $\frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}$ .

$(\frac{1}{8} e^{8 θ} \sin (9 θ) - \frac{9}{64} e^{8 θ} \cos (9 θ)) \frac{64}{145} + C$