Cálculo Exemplos

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{6}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $- \frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{3} x^{6}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$- \frac{1}{3} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$- 6 (\frac{1}{3}) x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Etapa 1.1.2.4

Combine $- 6$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 6}{3} x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Etapa 1.1.2.5

Combine $\frac{- 6}{3}$ e $x^{5}$ .

$\frac{- 6 x^{5}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Etapa 1.1.2.6

Cancele o fator comum de $- 6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Fatore $3$ de $- 6 x^{5}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Etapa 1.1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Etapa 1.1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Etapa 1.1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 x^{5}}{1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Etapa 1.1.2.6.2.4

Divida $- 2 x^{5}$ por $1$ .

$- 2 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{5}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 2 x^{5} - 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- 2 x^{5} - 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $5$ por $- 3$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Como $- \frac{15}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{15}{2} x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{15}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} - \frac{15}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} - \frac{15}{2} (4 x^{3})$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} - 4 (\frac{15}{2}) x^{3}$

Etapa 1.1.4.4

Combine $- 4$ e $\frac{15}{2}$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{- 4 \cdot 15}{2} x^{3}$

Etapa 1.1.4.5

Multiplique $- 4$ por $15$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{- 60}{2} x^{3}$

Etapa 1.1.4.6

Combine $\frac{- 60}{2}$ e $x^{3}$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{- 60 x^{3}}{2}$

Etapa 1.1.4.7

Cancele o fator comum de $- 60$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.7.1

Fatore $2$ de $- 60 x^{3}$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{2 (- 30 x^{3})}{2}$

Etapa 1.1.4.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{2 (- 30 x^{3})}{2 (1)}$

Etapa 1.1.4.7.2.2

Cancele o fator comum.

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{2 (- 30 x^{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.1.4.7.2.3

Reescreva a expressão.

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{- 30 x^{3}}{1}$

Etapa 1.1.4.7.2.4

Divida $- 30 x^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = - 2 x^{5} - 15 x^{4} - 30 x^{3}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x^{5} - 15 x^{4} - 30 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{5}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- 2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$- 10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 15 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 10 x^{4} - 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 10 x^{4} - 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $4$ por $- 15$ .

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Etapa 1.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Como $- 30$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 30 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 30 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 30 (3 x^{2})$

Etapa 1.2.4.3

Multiplique $3$ por $- 30$ .

$f'' (x) = - 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2}$ .

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2} = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $- 10 x^{2}$ de $- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $- 10 x^{2}$ de $- 10 x^{4}$ .

$- 10 x^{2} x^{2} - 60 x^{3} - 90 x^{2} = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $- 10 x^{2}$ de $- 60 x^{3}$ .

$- 10 x^{2} x^{2} - 10 x^{2} (6 x) - 90 x^{2} = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $- 10 x^{2}$ de $- 90 x^{2}$ .

$- 10 x^{2} x^{2} - 10 x^{2} (6 x) - 10 x^{2} \cdot 9 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $- 10 x^{2}$ de $- 10 x^{2} (x^{2}) - 10 x^{2} (6 x)$ .

$- 10 x^{2} (x^{2} + 6 x) - 10 x^{2} \cdot 9 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $- 10 x^{2}$ de $- 10 x^{2} (x^{2} + 6 x) - 10 x^{2} (9)$ .

$- 10 x^{2} (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$- 10 x^{2} (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Etapa 2.2.2.3

Reescreva o polinômio.

$- 10 x^{2} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Etapa 2.2.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 3$ .

$- 10 x^{2} {(x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 2.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina ${(x + 3)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina ${(x + 3)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva ${(x + 3)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 2.5.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- 10 x^{2} {(x + 3)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 3$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $0$ em $f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{6} - 3 {(0)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{3} \cdot 0 - 3 {(0)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{1}{3}) - 3 {(0)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Etapa 3.1.2.1.2.2

Multiplique $0$ por $\frac{1}{3}$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Etapa 3.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Etapa 3.1.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Etapa 3.1.2.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - \frac{15}{2} \cdot 0$

Etapa 3.1.2.1.6

Multiplique $- \frac{15}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.6.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 (\frac{15}{2})$

Etapa 3.1.2.1.6.2

Multiplique $0$ por $\frac{15}{2}$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 3.1.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 3.3

Substitua $- 3$ em $f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = - \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{6} - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $6$ .

$f (- 3) = - \frac{1}{3} \cdot 729 - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Etapa 3.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{3}$ para o numerador.

$f (- 3) = \frac{- 1}{3} \cdot 729 - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Fatore $3$ de $729$ .

$f (- 3) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (243)) - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Etapa 3.3.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$f (- 3) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 243) - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Etapa 3.3.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$f (- 3) = - 1 \cdot 243 - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Etapa 3.3.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $243$ .

$f (- 3) = - 243 - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Etapa 3.3.2.1.4

Multiplique $- 3$ por ${(- 3)}^{5}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.4.1

Multiplique $- 3$ por ${(- 3)}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.4.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $1$ .

$f (- 3) = - 243 + (- 3) {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Etapa 3.3.2.1.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- 3) = - 243 + {(- 3)}^{1 + 5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Etapa 3.3.2.1.4.2

Some $1$ e $5$ .

$f (- 3) = - 243 + {(- 3)}^{6} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Etapa 3.3.2.1.5

Eleve $- 3$ à potência de $6$ .

$f (- 3) = - 243 + 729 - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Etapa 3.3.2.1.6

Eleve $- 3$ à potência de $4$ .

$f (- 3) = - 243 + 729 - \frac{15}{2} \cdot 81$

Etapa 3.3.2.1.7

Multiplique $- \frac{15}{2} \cdot 81$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.7.1

Multiplique $81$ por $- 1$ .

$f (- 3) = - 243 + 729 - 81 (\frac{15}{2})$

Etapa 3.3.2.1.7.2

Combine $- 81$ e $\frac{15}{2}$ .

$f (- 3) = - 243 + 729 + \frac{- 81 \cdot 15}{2}$

Etapa 3.3.2.1.7.3

Multiplique $- 81$ por $15$ .

$f (- 3) = - 243 + 729 + \frac{- 1215}{2}$

Etapa 3.3.2.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 3) = - 243 + 729 - \frac{1215}{2}$

Etapa 3.3.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Escreva $- 243$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{1} + 729 - \frac{1215}{2}$

Etapa 3.3.2.2.2

Multiplique $\frac{- 243}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{1} \cdot \frac{2}{2} + 729 - \frac{1215}{2}$

Etapa 3.3.2.2.3

Multiplique $\frac{- 243}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2}{2} + 729 - \frac{1215}{2}$

Etapa 3.3.2.2.4

Escreva $729$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2}{2} + \frac{729}{1} - \frac{1215}{2}$

Etapa 3.3.2.2.5

Multiplique $\frac{729}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2}{2} + \frac{729}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1215}{2}$

Etapa 3.3.2.2.6

Multiplique $\frac{729}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2}{2} + \frac{729 \cdot 2}{2} - \frac{1215}{2}$

Etapa 3.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2 + 729 \cdot 2 - 1215}{2}$

Etapa 3.3.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.4.1

Multiplique $- 243$ por $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 486 + 729 \cdot 2 - 1215}{2}$

Etapa 3.3.2.4.2

Multiplique $729$ por $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 486 + 1458 - 1215}{2}$

Etapa 3.3.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.5.1

Some $- 486$ e $1458$ .

$f (- 3) = \frac{972 - 1215}{2}$

Etapa 3.3.2.5.2

Subtraia $1215$ de $972$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{2}$

Etapa 3.3.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 3) = - \frac{243}{2}$

Etapa 3.3.2.6

A resposta final é $- \frac{243}{2}$ .

$- \frac{243}{2}$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $- 3$ em $f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ é $(- 3, - \frac{243}{2})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 3, - \frac{243}{2})$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 0), (- 3, - \frac{243}{2})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 3)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 3.1$ na expressão.

$f'' (- 3.1) = - 10 {(- 3.1)}^{4} - 60 {(- 3.1)}^{3} - 90 {(- 3.1)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 3.1$ à potência de $4$ .

$f'' (- 3.1) = - 10 \cdot 92.3521 - 60 {(- 3.1)}^{3} - 90 {(- 3.1)}^{2}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 10$ por $92.3521$ .

$f'' (- 3.1) = - 923.521 - 60 {(- 3.1)}^{3} - 90 {(- 3.1)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 3.1$ à potência de $3$ .

$f'' (- 3.1) = - 923.521 - 60 \cdot - 29.791 - 90 {(- 3.1)}^{2}$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- 60$ por $- 29.791$ .

$f'' (- 3.1) = - 923.521 + 1787.46 - 90 {(- 3.1)}^{2}$

Etapa 5.2.1.5

Eleve $- 3.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 3.1) = - 923.521 + 1787.46 - 90 \cdot 9.61$

Etapa 5.2.1.6

Multiplique $- 90$ por $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = - 923.521 + 1787.46 - 864.9$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Some $- 923.521$ e $1787.46$ .

$f'' (- 3.1) = 863.939 - 864.9$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $864.9$ de $863.939$ .

$f'' (- 3.1) = - 0.961$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 0.961$ .

$- 0.961$

Etapa 5.3

Em $- 3.1$ , a segunda derivada é $- 0.961$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - 3)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 3)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 3, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{3}{2}$ na expressão.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 {(- \frac{3}{2})}^{4} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 ({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 ({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}})) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 (1 (\frac{3^{4}}{2^{4}})) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 \frac{3^{4}}{2^{4}} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 \frac{81}{2^{4}} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 (\frac{81}{16}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.6.1

Fatore $2$ de $- 10$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- 5) (\frac{81}{16}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.6.2

Fatore $2$ de $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 5 \frac{81}{2 \cdot 8}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.6.3

Cancele o fator comum.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 5 \frac{81}{2 \cdot 8}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.6.4

Reescreva a expressão.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 5 (\frac{81}{8}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.7

Combine $- 5$ e $\frac{81}{8}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 5 \cdot 81}{8} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.8

Multiplique $- 5$ por $81$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 405}{8} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.10

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.10.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.10.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.11

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.12

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 (- \frac{27}{2^{3}}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.13

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 (- \frac{27}{8}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.14

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.14.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{27}{8}$ para o numerador.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 (\frac{- 27}{8}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.14.2

Fatore $4$ de $- 60$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + 4 (- 15) (\frac{- 27}{8}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.14.3

Fatore $4$ de $8$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + 4 \cdot (- 15 \frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.14.4

Cancele o fator comum.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + 4 \cdot (- 15 \frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.14.5

Reescreva a expressão.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 15 (\frac{- 27}{2}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.15

Combine $- 15$ e $\frac{- 27}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{- 15 \cdot - 27}{2} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.16

Multiplique $- 15$ por $- 27$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 6.2.1.17

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 6.2.1.17.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})$

Etapa 6.2.1.17.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Etapa 6.2.1.18

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Etapa 6.2.1.19

Multiplique $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Etapa 6.2.1.20

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 \frac{9}{2^{2}}$

Etapa 6.2.1.21

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 (\frac{9}{4})$

Etapa 6.2.1.22

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.22.1

Fatore $2$ de $- 90$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + 2 (- 45) (\frac{9}{4})$

Etapa 6.2.1.22.2

Fatore $2$ de $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + 2 \cdot (- 45 \frac{9}{2 \cdot 2})$

Etapa 6.2.1.22.3

Cancele o fator comum.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + 2 \cdot (- 45 \frac{9}{2 \cdot 2})$

Etapa 6.2.1.22.4

Reescreva a expressão.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 45 (\frac{9}{2})$

Etapa 6.2.1.23

Combine $- 45$ e $\frac{9}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + \frac{- 45 \cdot 9}{2}$

Etapa 6.2.1.24

Multiplique $- 45$ por $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + \frac{- 405}{2}$

Etapa 6.2.1.25

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - \frac{405}{2}$

Etapa 6.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 405}{8} + \frac{405 - 405}{2}$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $405$ de $405$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 405}{8} + \frac{0}{2}$

Etapa 6.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{0}{2}$

Etapa 6.2.3.2

Divida $0$ por $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + 0$

Etapa 6.2.4

Some $- \frac{405}{8}$ e $0$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8}$

Etapa 6.2.5

A resposta final é $- \frac{405}{8}$ .

$- \frac{405}{8}$

Etapa 6.3

Em $- \frac{3}{2}$ , a segunda derivada é $- 50.625$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- 3, 0)$ .

Decréscimo em $(- 3, 0)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.1$ na expressão.

$f'' (0.1) = - 10 {(0.1)}^{4} - 60 {(0.1)}^{3} - 90 {(0.1)}^{2}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $0.1$ à potência de $4$ .

$f'' (0.1) = - 10 \cdot 0.0001 - 60 {(0.1)}^{3} - 90 {(0.1)}^{2}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 10$ por $0.0001$ .

$f'' (0.1) = - 0.001 - 60 {(0.1)}^{3} - 90 {(0.1)}^{2}$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $0.1$ à potência de $3$ .

$f'' (0.1) = - 0.001 - 60 \cdot 0.001 - 90 {(0.1)}^{2}$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $- 60$ por $0.001$ .

$f'' (0.1) = - 0.001 - 0.06 - 90 {(0.1)}^{2}$

Etapa 7.2.1.5

Eleve $0.1$ à potência de $2$ .

$f'' (0.1) = - 0.001 - 0.06 - 90 \cdot 0.01$

Etapa 7.2.1.6

Multiplique $- 90$ por $0.01$ .

$f'' (0.1) = - 0.001 - 0.06 - 0.9$

Etapa 7.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Subtraia $0.06$ de $- 0.001$ .

$f'' (0.1) = - 0.061 - 0.9$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $0.9$ de $- 0.061$ .

$f'' (0.1) = - 0.961$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 0.961$ .

$- 0.961$

Etapa 7.3

Em $0.1$ , a segunda derivada é $- 0.961$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(0, \infty)$ .

Decréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. No gráfico, não há pontos que satisfaçam esses requisitos.

Nenhum ponto de inflexão