Cálculo Exemplos

$y = \sqrt[3]{\frac{1 + x^{2}}{x - 4}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{\frac{1 + x^{2}}{x - 4}}$ como ${(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = \frac{1 + x^{2}}{x - 4}$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{1 + x^{2}}{x - 4}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1 + x^{2}}{x - 4}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

Etapa 4.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

Etapa 4.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

Etapa 4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

Etapa 4.5.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

Etapa 4.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

Etapa 4.7

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1 + x^{2}$ e $g (x) = x - 4$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x - 4) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 4.8

Diferencie.

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Etapa 4.8.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x - 4) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 4.8.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x - 4) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 4.8.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 4.8.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x - 4) (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 4.8.5

Mova $2$ para a esquerda de $x - 4$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 \cdot (x - 4) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 4.8.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 4.8.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 4.8.8

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2}) (1 + 0)}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 4.8.9

Combine frações.

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Etapa 4.8.9.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2}) \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 4.8.9.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 4.8.9.3

Multiplique $\frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{{(x - 4)}^{2}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{{(x - 4)}^{2} \cdot 3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}}$

Etapa 4.8.9.4

Mova $3$ para a esquerda de ${(x - 4)}^{2}$ .

$\frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{3 \cdot {(x - 4)}^{2}} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}}$

Etapa 4.9

Simplifique.

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Etapa 4.9.1

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$\frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{3 {(x - 4)}^{2}} {(\frac{x - 4}{1 + x^{2}})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.9.2

Aplique a regra do produto a $\frac{x - 4}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 4) x - (1 + x^{2})}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.9.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 4 x - (1 + x^{2})}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.9.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 4 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.9.6

Combine os termos.

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Etapa 4.9.6.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 4 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.9.6.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 4 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.9.6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 4 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.9.6.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 4 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.9.6.5

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.9.6.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.9.6.7

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.9.6.8

Multiplique $\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{2}}$ por $\frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{(x^{2} - 8 x - 1) {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 4)}^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.9.6.9

Mova ${(x - 4)}^{\frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}} {(x - 4)}^{- \frac{2}{3}}}$

Etapa 4.9.6.10

Multiplique ${(x - 4)}^{2}$ por ${(x - 4)}^{- \frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.9.6.10.1

Mova ${(x - 4)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 ({(x - 4)}^{- \frac{2}{3}} {(x - 4)}^{2}) {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.9.6.10.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{- \frac{2}{3} + 2} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.9.6.10.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.9.6.10.4

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.9.6.10.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.9.6.10.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.9.6.10.6.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{\frac{- 2 + 6}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.9.6.10.6.2

Some $- 2$ e $6$ .

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{\frac{4}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{\frac{4}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{\frac{4}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$