Cálculo Exemplos

$\int (\frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{4}) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int \frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{4}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Etapa 3

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Etapa 4.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$4 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Etapa 4.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Etapa 4.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$4 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Etapa 4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Etapa 7

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - (\frac{1}{4} \int \sqrt{x} d x)$

Etapa 8

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique.

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Etapa 10.2

Simplifique.

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Etapa 10.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Etapa 10.2.2

Multiplique $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3 \cdot 4} + C$

Etapa 10.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{12} + C$

Etapa 10.2.4

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 (x^{\frac{3}{2}})}{12} + C$

Etapa 10.2.5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.2.5.1

Fatore $2$ de $12$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 6} + C$

Etapa 10.2.5.2

Cancele o fator comum.

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 6} + C$

Etapa 10.2.5.3

Reescreva a expressão.

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{6} + C$

Etapa 11

Reordene os termos.

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$