Cálculo Exemplos

$\int_{- 2}^{2} \sqrt[3]{8 x} + \frac{4 x}{x^{3}} d x$

Etapa 1

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{3}$ .

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Etapa 1.1

Fatore $x$ de $4 x$ .

$\int_{- 2}^{2} \sqrt[3]{8 x} + \frac{x \cdot 4}{x^{3}} d x$

Etapa 1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\int_{- 2}^{2} \sqrt[3]{8 x} + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x^{2}} d x$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\int_{- 2}^{2} \sqrt[3]{8 x} + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x^{2}} d x$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\int_{- 2}^{2} \sqrt[3]{8 x} + \frac{4}{x^{2}} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 2}^{2} \sqrt[3]{8 x} d x + \int_{- 2}^{2} \frac{4}{x^{2}} d x$

Etapa 3

Deixe $u = 8 x$ . Depois, $d u = 8 d x$ , então, $\frac{1}{8} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = 8 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Etapa 3.1.2

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Etapa 3.1.4

Multiplique $8$ por $1$ .

$8$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 8 x$ .

$u_{lower} = 8 \cdot - 2$

Etapa 3.3

Multiplique $8$ por $- 2$ .

$u_{lower} = - 16$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 8 x$ .

$u_{upper} = 8 \cdot 2$

Etapa 3.5

Multiplique $8$ por $2$ .

$u_{upper} = 16$

Etapa 3.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 16$

$u_{upper} = 16$

Etapa 3.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{- 16}^{16} \sqrt[3]{u} \frac{1}{8} d u + \int_{- 2}^{2} \frac{4}{x^{2}} d x$

Etapa 4

Combine $\sqrt[3]{u}$ e $\frac{1}{8}$ .

$\int_{- 16}^{16} \frac{\sqrt[3]{u}}{8} d u + \int_{- 2}^{2} \frac{4}{x^{2}} d x$

Etapa 5

Como $\frac{1}{8}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{8}$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} \int_{- 16}^{16} \sqrt[3]{u} d u + \int_{- 2}^{2} \frac{4}{x^{2}} d x$

Etapa 6

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{8} \int_{- 16}^{16} u^{\frac{1}{3}} d u + \int_{- 2}^{2} \frac{4}{x^{2}} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{8} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 16}^{16} + \int_{- 2}^{2} \frac{4}{x^{2}} d x$

Etapa 8

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 16}^{16} + 4 \int_{- 2}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 9

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 9.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{8} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 16}^{16} + 4 \int_{- 2}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 9.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 9.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 16}^{16} + 4 \int_{- 2}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 9.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{8} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 16}^{16} + 4 \int_{- 2}^{2} x^{- 2} d x$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{8} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 16}^{16} + 4 (- x^{- 1}]_{- 2}^{2})$

Etapa 11

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.1

Avalie $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ em $16$ e em $- 16$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{3}{4} \cdot 16^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} {(- 16)}^{\frac{4}{3}}) + 4 (- x^{- 1}]_{- 2}^{2})$

Etapa 11.2

Avalie $- x^{- 1}$ em $2$ e em $- 2$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{3}{4} \cdot 16^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} {(- 16)}^{\frac{4}{3}}) + 4 ((- 2^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1})$

Etapa 11.3

Simplifique.

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Etapa 11.3.1

Combine $\frac{3}{4}$ e $16^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} {(- 16)}^{\frac{4}{3}}) + 4 ((- 2^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1})$

Etapa 11.3.2

Combine ${(- 16)}^{\frac{4}{3}}$ e $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{{(- 16)}^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{4}) + 4 ((- 2^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1})$

Etapa 11.3.3

Mova $3$ para a esquerda de ${(- 16)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 ((- 2^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1})$

Etapa 11.3.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 (- \frac{1}{2} + {(- 2)}^{- 1})$

Etapa 11.3.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{- 2})$

Etapa 11.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 (- \frac{1}{2} - \frac{1}{2})$

Etapa 11.3.7

Subtraia $\frac{1}{2}$ de $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 (- 2 (\frac{1}{2}))$

Etapa 11.3.8

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 (\frac{- 2}{2})$

Etapa 11.3.9

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 11.3.9.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Etapa 11.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.3.9.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Etapa 11.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 (\frac{- 1}{1})$

Etapa 11.3.9.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 \cdot - 1$

Etapa 11.3.10

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) - 4$

Etapa 12

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{1}{8} (- \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) - 4$

Etapa 12.2

Combine.

$\frac{1 (3 \cdot 16^{\frac{4}{3}})}{8 \cdot 4} + \frac{1}{8} (- \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) - 4$

Etapa 12.3

Multiplique $\frac{1}{8} (- \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4})$ .

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Etapa 12.3.1

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $\frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}$ .

$\frac{1 (3 \cdot 16^{\frac{4}{3}})}{8 \cdot 4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{8 \cdot 4} - 4$

Etapa 12.3.2

Multiplique $8$ por $4$ .

$\frac{1 (3 \cdot 16^{\frac{4}{3}})}{8 \cdot 4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{32} - 4$

Etapa 12.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.4.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{8 \cdot 4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{32} - 4$

Etapa 12.4.2

Multiplique $8$ por $4$ .

$\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{32} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{32} - 4$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{32} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{32} - 4$

Forma decimal:

$- 4$

Etapa 14