Cálculo Exemplos

$\sin^{2} (\frac{x}{2})$

Etapa 1

Escreva $\sin^{2} (\frac{x}{2})$ como uma função.

$f (x) = \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Etapa 4

Deixe $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Depois, $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , então, $2 d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 4.1.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

Etapa 5.3

Mova $2$ para a esquerda de $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\int 2 \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6

Como $2$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 7

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$2 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 9.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 9.3

Multiplique $\int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$ por $1$ .

$\int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 10

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 11

Aplique a regra da constante.

$u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 12

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 13

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 13.1

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 13.1.1

Diferencie $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Etapa 13.1.2

Como $2$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $2 u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 13.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 13.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 13.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 14

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Etapa 15

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 16

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)$

Etapa 17

Simplifique.

$u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

Etapa 18

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 18.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

Etapa 18.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 u_{1}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1}) + C$

Etapa 18.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2}) + C$

Etapa 19

Simplifique.

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Etapa 19.1

Combine $2$ e $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{2 x}{2}) + C$

Etapa 19.2

Combine $\sin (\frac{2 x}{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (\frac{2 x}{2})}{2} + C$

Etapa 20

Simplifique.

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Etapa 20.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 20.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (\frac{2 x}{2})}{2} + C$

Etapa 20.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (x)}{2} + C$

Etapa 20.2

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \sin (x) + C$

Etapa 21

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \sin (x) + C$