Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 2} \frac{x^{5} - 32}{x^{4} - 16}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{5} - 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{5} - lim_{x \to 2} 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o expoente $5$ de $x^{5}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{5} - lim_{x \to 2} 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

Etapa 1.1.2.1.3

Avalie o limite de $32$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 1 \cdot 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2^{5} - 1 \cdot 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$\frac{32 - 1 \cdot 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $32$ .

$\frac{32 - 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $32$ de $32$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{4} - lim_{x \to 2} 16}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o expoente $4$ de $x^{4}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - lim_{x \to 2} 16}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{2^{4} - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{0}{16 - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$\frac{0}{16 - 16}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $16$ de $16$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{5} - 32}{x^{4} - 16} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5} - 32]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5} - 32]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} - 32$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 32]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 32]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 32]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 32$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

Etapa 1.3.5

Some $5 x^{4}$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{4 x^{3} + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{4 x^{3}}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x^{3}$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $x^{3}$ de $5 x^{4}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} (5 x)}{4 x^{3}}$

Etapa 1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.2.1

Fatore $x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} (5 x)}{x^{3} \cdot 4}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} (5 x)}{x^{3} \cdot 4}$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 2} \frac{5 x}{4}$

Etapa 2

Mova o termo $\frac{5}{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to 2} x$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{5}{4} \cdot 2$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{5}{2 (2)} \cdot 2$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{2 \cdot 2} \cdot 2$

Etapa 4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{5}{2}$

Forma decimal:

$2.5$