Cálculo Exemplos

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $- \frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{3} x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 (\frac{1}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.4

Combine $- 3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.5

Combine $\frac{- 3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.6

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.6.2.4

Divida $- x^{2}$ por $1$ .

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- x^{2} - 9 (2 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$f' (x) = - x^{2} - 18 x$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} - 18 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 18 x$ em relação a $x$ é $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x - 18 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 x - 18 \cdot 1$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $- 18$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 x - 18$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 x - 18$ .

$- 2 x - 18$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 x - 18 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 2 x - 18 = 0$

Etapa 2.2

Some $18$ aos dois lados da equação.

$- 2 x = 18$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $- 2 x = 18$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $- 2 x = 18$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{18}{- 2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{18}{- 2}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{18}{- 2}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Divida $18$ por $- 2$ .

$x = - 9$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- 9$ em $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $- 9$ na expressão.

$f (- 9) = - \frac{1}{3} \cdot {(- 9)}^{3} - 9 {(- 9)}^{2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.1.1

Eleve $- 9$ à potência de $3$ .

$f (- 9) = - \frac{1}{3} \cdot - 729 - 9 {(- 9)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.1.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{3}$ para o numerador.

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot - 729 - 9 {(- 9)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.2.2

Fatore $3$ de $- 729$ .

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 243)) - 9 {(- 9)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 243) - 9 {(- 9)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$f (- 9) = - 1 \cdot - 243 - 9 {(- 9)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 243$ .

$f (- 9) = 243 - 9 {(- 9)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.4

Multiplique $- 9$ por ${(- 9)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.4.1

Multiplique $- 9$ por ${(- 9)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.4.1.1

Eleve $- 9$ à potência de $1$ .

$f (- 9) = 243 + (- 9) {(- 9)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- 9) = 243 + {(- 9)}^{1 + 2}$

Etapa 3.1.2.1.4.2

Some $1$ e $2$ .

$f (- 9) = 243 + {(- 9)}^{3}$

Etapa 3.1.2.1.5

Eleve $- 9$ à potência de $3$ .

$f (- 9) = 243 - 729$

Etapa 3.1.2.2

Subtraia $729$ de $243$ .

$f (- 9) = - 486$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $- 486$ .

$- 486$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $- 9$ em $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ é $(- 9, - 486)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 9, - 486)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 9)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 9.1$ na expressão.

$f'' (- 9.1) = - 2 \cdot - 9.1 - 18$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 9.1$ .

$f'' (- 9.1) = 18.2 - 18$

Etapa 5.2.2

Subtraia $18$ de $18.2$ .

$f'' (- 9.1) = 0.2$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $0.2$ .

$0.2$

Etapa 5.3

Em $- 9.1$ , a segunda derivada é $0.2$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - 9)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 9)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 9, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 8.9$ na expressão.

$f'' (- 8.9) = - 2 \cdot - 8.9 - 18$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 8.9$ .

$f'' (- 8.9) = 17.8 - 18$

Etapa 6.2.2

Subtraia $18$ de $17.8$ .

$f'' (- 8.9) = - 0.2$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 0.2$ .

$- 0.2$

Etapa 6.3

Em $- 8.9$ , a segunda derivada é $- 0.2$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- 9, \infty)$ .

Decréscimo em $(- 9, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(- 9, - 486)$ .

$(- 9, - 486)$

Etapa 8