Cálculo Exemplos

$\int x (x + 2) (4 x - 1) d x$

Etapa 1

Deixe $u = 4 x - 1$ . Depois, $d u = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 4 x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $4 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $4$ e $0$ .

$4$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{u}{4} + \frac{1}{4} + 2) u \frac{1}{4} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{u}{4} + \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}) u \frac{1}{4} d u$

Etapa 2.2

Combine $2$ e $\frac{4}{4}$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{u}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}) u \frac{1}{4} d u$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{u}{4} + \frac{1 + 2 \cdot 4}{4}) u \frac{1}{4} d u$

Etapa 2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{u}{4} + \frac{1 + 8}{4}) u \frac{1}{4} d u$

Etapa 2.4.2

Some $1$ e $8$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{u}{4} + \frac{9}{4}) u \frac{1}{4} d u$

Etapa 2.5

Combine $\frac{1}{4}$ e $u$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{u}{4} + \frac{9}{4}) \frac{u}{4} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (\frac{u}{4} (\frac{u}{4} + \frac{9}{4}) + \frac{1}{4} (\frac{u}{4} + \frac{9}{4})) \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (\frac{u}{4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} + \frac{1}{4} (\frac{u}{4} + \frac{9}{4})) \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (\frac{u}{4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}) \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (\frac{u}{4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4}) \frac{u}{4} + (\frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}) \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{u}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + (\frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}) \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{u}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.7

Multiplique $\frac{u}{4}$ por $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{u \cdot u}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.8

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int \frac{u^{1} u}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.9

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{1}}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{u^{1 + 1}}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.11

Some $1$ e $1$ .

$\int \frac{u^{2}}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.12

Multiplique $4$ por $4$ .

$\int \frac{u^{2}}{16} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.13

Multiplique $\frac{u^{2}}{16}$ por $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{u^{2} u}{16 \cdot 4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.14

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int \frac{u^{2} u^{1}}{16 \cdot 4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.15

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{u^{2 + 1}}{16 \cdot 4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.16

Some $2$ e $1$ .

$\int \frac{u^{3}}{16 \cdot 4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.17

Multiplique $16$ por $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.18

Multiplique $\frac{u}{4}$ por $\frac{9}{4}$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.19

Multiplique $4$ por $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9}{16} \cdot \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.20

Multiplique $\frac{u \cdot 9}{16}$ por $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{16 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.21

Multiplique $16$ por $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.22

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.23

Multiplique $4$ por $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u}{16} \cdot \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.24

Multiplique $\frac{u}{16}$ por $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u \cdot u}{16 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.25

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{1} u}{16 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.26

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{1} u^{1}}{16 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.27

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{1 + 1}}{16 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.28

Some $1$ e $1$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{2}}{16 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.29

Multiplique $16$ por $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.30

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{9}{4}$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.31

Multiplique $4$ por $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9}{16} \cdot \frac{u}{4} d u$

Etapa 3.32

Multiplique $\frac{9}{16}$ por $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9 u}{16 \cdot 4} d u$

Etapa 3.33

Multiplique $16$ por $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9 u}{64} d u$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Mova $9$ para a esquerda de $u$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{9 \cdot u \cdot u}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9 u}{64} d u$

Etapa 4.2

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{9 (u^{1} u)}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9 u}{64} d u$

Etapa 4.3

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{9 (u^{1} u^{1})}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9 u}{64} d u$

Etapa 4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{9 u^{1 + 1}}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9 u}{64} d u$

Etapa 4.5

Some $1$ e $1$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{9 u^{2}}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9 u}{64} d u$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{u^{3}}{64} d u + \int \frac{9 u^{2}}{64} d u + \int \frac{u^{2}}{64} d u + \int \frac{9 u}{64} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{64}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{64}$ para fora da integral.

$\frac{1}{64} \int u^{3} d u + \int \frac{9 u^{2}}{64} d u + \int \frac{u^{2}}{64} d u + \int \frac{9 u}{64} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{64} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int \frac{9 u^{2}}{64} d u + \int \frac{u^{2}}{64} d u + \int \frac{9 u}{64} d u$

Etapa 8

Como $\frac{9}{64}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{9}{64}$ para fora da integral.

$\frac{1}{64} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{9}{64} \int u^{2} d u + \int \frac{u^{2}}{64} d u + \int \frac{9 u}{64} d u$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{64} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{9}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int \frac{u^{2}}{64} d u + \int \frac{9 u}{64} d u$

Etapa 10

Como $\frac{1}{64}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{64}$ para fora da integral.

$\frac{1}{64} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{9}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{64} \int u^{2} d u + \int \frac{9 u}{64} d u$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{64} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{9}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int \frac{9 u}{64} d u$

Etapa 12

Como $\frac{9}{64}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{9}{64}$ para fora da integral.

$\frac{1}{64} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{9}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{9}{64} \int u d u$

Etapa 13

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{64} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{9}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Simplifique.

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{u^{3}}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Etapa 14.2

Simplifique.

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Etapa 14.2.1

Para escrever $\frac{3 u^{3}}{64}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{3 u^{3}}{64} \cdot \frac{3}{3} + \frac{u^{3}}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Etapa 14.2.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $192$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 14.2.2.1

Multiplique $\frac{3 u^{3}}{64}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{3 u^{3} \cdot 3}{64 \cdot 3} + \frac{u^{3}}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Etapa 14.2.2.2

Multiplique $64$ por $3$ .

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{3 u^{3} \cdot 3}{192} + \frac{u^{3}}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Etapa 14.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{3 u^{3} \cdot 3 + u^{3}}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Etapa 14.2.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{9 u^{3} + u^{3}}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Etapa 14.2.5

Some $9 u^{3}$ e $u^{3}$ .

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{10 u^{3}}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Etapa 14.2.6

Cancele o fator comum de $10$ e $192$ .

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Etapa 14.2.6.1

Fatore $2$ de $10 u^{3}$ .

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{2 (5 u^{3})}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Etapa 14.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 14.2.6.2.1

Fatore $2$ de $192$ .

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{2 (5 u^{3})}{2 (96)} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Etapa 14.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{2 (5 u^{3})}{2 \cdot 96} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Etapa 14.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{5 u^{3}}{96} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Etapa 14.2.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{5 u^{3}}{96} + \frac{9}{64} \cdot \frac{u^{2}}{2} + C$

Etapa 14.2.8

Multiplique $\frac{9}{64}$ por $\frac{u^{2}}{2}$ .

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{5 u^{3}}{96} + \frac{9 u^{2}}{64 \cdot 2} + C$

Etapa 14.2.9

Multiplique $64$ por $2$ .

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{5 u^{3}}{96} + \frac{9 u^{2}}{128} + C$

Etapa 15

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x - 1$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{4}}{256} + \frac{5 {(4 x - 1)}^{3}}{96} + \frac{9 {(4 x - 1)}^{2}}{128} + C$

Etapa 16

Reordene os termos.

$\frac{1}{256} {(4 x - 1)}^{4} + \frac{5}{96} {(4 x - 1)}^{3} + \frac{9}{128} {(4 x - 1)}^{2} + C$