Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}]$ como $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$ .

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Etapa 1.1.1

Reescreva $x^{3} + 3 x^{2}$ como $x^{2} (x + 3)$ .

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Etapa 1.1.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}]$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}]$

Etapa 1.1.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} (x + 3)}]$

Etapa 1.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$

Etapa 1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 3}$ como ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 3$ .

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Etapa 1.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 3$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.9

Combine frações.

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Etapa 1.9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.9.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.9.3

Mova ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.9.4

Combine $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.12

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.13

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.13.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.13.2

Multiplique $\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 1.15

Multiplique ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.16

Para escrever ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.17

Combine ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.19

Multiplique ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.19.1

Mova ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.19.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.19.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.19.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.19.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.20

Simplifique ${(x + 3)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x + (x + 3) \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.21

Mova $2$ para a esquerda de $x + 3$ .

$\frac{x + 2 \cdot (x + 3)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.22

Simplifique.

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Etapa 1.22.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot 3}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.22.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.22.2.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{x + 2 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.22.2.2

Some $x$ e $2 x$ .

$\frac{3 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.22.3

Fatore $3$ de $3 x + 6$ .

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Etapa 1.22.3.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{3 (x) + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.22.3.2

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.22.3.3

Fatore $3$ de $3 x + 3 \cdot 2$ .

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $\frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x + 2}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 2$ e $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

Etapa 2.4

Simplifique.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

Etapa 2.5

Diferencie.

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Etapa 2.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

Etapa 2.5.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

Etapa 2.5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

Etapa 2.5.4.2

Multiplique ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 3$ .

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Etapa 2.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x + 3$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 2.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + 3$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 2.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 2.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 2.11

Combine frações.

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Etapa 2.11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 2.11.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 2.11.3

Mova ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 2.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)))}{x + 3}$

Etapa 2.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3)))}{x + 3}$

Etapa 2.14

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0))}{x + 3}$

Etapa 2.15

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{x + 3}$

Etapa 2.15.2

Multiplique $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 3}$

Etapa 2.15.3

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 3}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 3)}$

Etapa 2.16

Simplifique.

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Etapa 2.16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (x + 3)}$

Etapa 2.16.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (x + 3)}$

Etapa 2.16.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 3}$

Etapa 2.16.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.16.4.1

Fatore $3$ de $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.16.4.1.1

Fatore $3$ de $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Etapa 2.16.4.1.2

Fatore $3$ de $3 (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 3}$

Etapa 2.16.4.1.3

Fatore $3$ de $3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 3}$

Etapa 2.16.4.2

Deixe $u_{2} = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ . Substitua $u_{2}$ em todas as ocorrências de ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.16.4.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 u_{2} u_{2} - x - 2}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Etapa 2.16.4.2.2

Multiplique $u_{2}$ por $u_{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.16.4.2.2.1

Mova $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (u_{2} u_{2}) - x - 2}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Etapa 2.16.4.2.2.2

Multiplique $u_{2}$ por $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {u_{2}}^{2} - x - 2}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Etapa 2.16.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Etapa 2.16.4.4

Simplifique.

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Etapa 2.16.4.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.16.4.4.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.16.4.4.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Etapa 2.16.4.4.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.16.4.4.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Etapa 2.16.4.4.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (x + 3) - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Etapa 2.16.4.4.1.2

Simplifique.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (x + 3) - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Etapa 2.16.4.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 x + 2 \cdot 3 - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Etapa 2.16.4.4.1.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 x + 6 - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Etapa 2.16.4.4.2

Subtraia $x$ de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x + 6 - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Etapa 2.16.4.4.3

Subtraia $2$ de $6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x + 4}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Etapa 2.16.5

Combine os termos.

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Etapa 2.16.5.1

Combine $3$ e $\frac{x + 4}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Etapa 2.16.5.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 6}$

Etapa 2.16.5.3

Reescreva $\frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 6}$ como um produto.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x + 6}$

Etapa 2.16.5.4

Multiplique $\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{2 x + 6}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 6)}$

Etapa 2.16.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.16.6.1

Fatore $2$ de $2 x + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.16.6.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 6)}$

Etapa 2.16.6.1.2

Fatore $2$ de $6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot 3)}$

Etapa 2.16.6.1.3

Fatore $2$ de $2 x + 2 \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 3))}$

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (x + 3))}$

Etapa 2.16.6.2

Combine expoentes.

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Etapa 2.16.6.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (x + 3)}$

Etapa 2.16.6.2.2

Eleve $x + 3$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 ((x + 3) {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 2.16.6.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Etapa 2.16.6.2.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Etapa 2.16.6.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Etapa 2.16.6.2.6

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Reescreva $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}]$ como $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Reescreva $x^{3} + 3 x^{2}$ como $x^{2} (x + 3)$ .

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Etapa 4.1.1.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}]$

Etapa 4.1.1.1.2

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}]$

Etapa 4.1.1.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} (x + 3)}]$

Etapa 4.1.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$

Etapa 4.1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 3}$ como ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.3

$x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 3$ .

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Etapa 4.1.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 3$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.9

Combine frações.

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Etapa 4.1.9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.9.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.9.3

Mova ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.9.4

Combine $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.12

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.13

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.13.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.13.2

Multiplique $\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 4.1.15

Multiplique ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.16

Para escrever ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.17

Combine ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.19

Multiplique ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.19.1

Mova ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.19.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.19.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.19.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.19.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.20

Simplifique ${(x + 3)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x + (x + 3) \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.21

Mova $2$ para a esquerda de $x + 3$ .

$\frac{x + 2 \cdot (x + 3)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.22

Simplifique.

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Etapa 4.1.22.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot 3}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.22.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.22.2.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{x + 2 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.22.2.2

Some $x$ e $2 x$ .

$\frac{3 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.22.3

Fatore $3$ de $3 x + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.22.3.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{3 (x) + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.22.3.2

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.22.3.3

Fatore $3$ de $3 x + 3 \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$3 (x + 2) = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $3 (x + 2) = 0$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Divida cada termo em $3 (x + 2) = 0$ por $3$ .

$\frac{3 (x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 5.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 5.3.1.2.1.2

Divida $x + 2$ por $1$ .

$x + 2 = \frac{0}{3}$

Etapa 5.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.3.1

Divida $0$ por $3$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 5.3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{{(x + 3)}^{1}}}$

Etapa 6.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{x + 3}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{x + 3}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 \sqrt{x + 3} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{x + 3})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 3}$ como ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique ${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 {(x + 3)}^{1} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.4

Simplifique.

$4 (x + 3) = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x + 4 \cdot 3 = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.6

Multiplique $4$ por $3$ .

$4 x + 12 = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 x + 12 = 0$

Etapa 6.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$4 x = - 12$

Etapa 6.3.3.2

Divida cada termo em $4 x = - 12$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Divida cada termo em $4 x = - 12$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

Etapa 6.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

Etapa 6.3.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 12}{4}$

Etapa 6.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.3.1

Divida $- 12$ por $4$ .

$x = - 3$

Etapa 6.4

Defina o radicando em $\sqrt{x + 3}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 3 < 0$

Etapa 6.5

Subtraia $3$ dos dois lados da desigualdade.

$x < - 3$

Etapa 6.6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 2, - 3$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{3 ((- 2) + 4)}{4 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Fatore $2$ de $3 ((- 2) + 4)$ .

$\frac{2 (3 (- 1 + 2))}{4 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Fatore $2$ de $4 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (3 (- 1 + 2))}{2 (2 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}})}$

Etapa 9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 (- 1 + 2))}{2 (2 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}})}$

Etapa 9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (- 1 + 2)}{2 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.3

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Some $- 2$ e $3$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.4.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{3}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{3}{2}$

Etapa 10

$x = - 2$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 2$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = \sqrt{{(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f (- 2) = \sqrt{- 8 + 3 {(- 2)}^{2}}$

Etapa 11.2.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = \sqrt{- 8 + 3 \cdot 4}$

Etapa 11.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f (- 2) = \sqrt{- 8 + 12}$

Etapa 11.2.4

Some $- 8$ e $12$ .

$f (- 2) = \sqrt{4}$

Etapa 11.2.5

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (- 2) = \sqrt{2^{2}}$

Etapa 11.2.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (- 2) = 2$

Etapa 11.2.7

A resposta final é $2$ .

$y = 2$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 3$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 {((- 3) + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Some $- 3$ e $3$ .

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.2

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 13.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot 0^{3}}$

Etapa 13.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot 0}$

Etapa 13.3.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{0}$

Etapa 13.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{0}$

Etapa 13.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 14

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 15