Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} (e^{t} + 5 e^{5 t}) d t$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int_{0}^{1} e^{t} + 5 e^{5 t} d t$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{1} e^{t} d t + \int_{0}^{1} 5 e^{5 t} d t$

Etapa 3

A integral de $e^{t}$ com relação a $t$ é $e^{t}$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 5 e^{5 t} d t$

Etapa 4

Como $5$ é constante com relação a $t$ , mova $5$ para fora da integral.

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{1} e^{5 t} d t$

Etapa 5

Deixe $u = 5 t$ . Depois, $d u = 5 d t$ , então, $\frac{1}{5} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Deixe $u = 5 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie $5 t$ .

$\frac{d}{d t} [5 t]$

Etapa 5.1.2

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 t$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$5$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = 5 t$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

Etapa 5.3

Multiplique $5$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = 5 t$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 1$

Etapa 5.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$u_{upper} = 5$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{5} e^{u} \frac{1}{5} d u$

Etapa 6

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{5}$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{5} \frac{e^{u}}{5} d u$

Etapa 7

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 (\frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u)$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $5$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + \frac{5}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{t}]_{0}^{1} + \frac{5}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u$

Etapa 8.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{t}]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{5} e^{u} d u$

Etapa 8.3

Multiplique $\int_{0}^{5} e^{u} d u$ por $1$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + \int_{0}^{5} e^{u} d u$

Etapa 9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + e^{u}]_{0}^{5}$

Etapa 10

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Avalie $e^{t}$ em $1$ e em $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + e^{u}]_{0}^{5}$

Etapa 10.2

Avalie $e^{u}$ em $5$ e em $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + (e^{5}) - e^{0}$

Etapa 10.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Simplifique.

$e - e^{0} + (e^{5}) - e^{0}$

Etapa 10.3.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$e - 1 \cdot 1 + (e^{5}) - e^{0}$

Etapa 10.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e - 1 + (e^{5}) - e^{0}$

Etapa 10.3.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$e - 1 + e^{5} - 1 \cdot 1$

Etapa 10.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e - 1 + e^{5} - 1$

Etapa 10.3.6

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$e + e^{5} - 2$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$e + e^{5} - 2$

Forma decimal:

$149.13144093 \dots$

Etapa 12