Cálculo Exemplos

$\int \frac{10}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Etapa 1

Como $10$ é constante com relação a $x$ , mova $10$ para fora da integral.

$10 \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 1 + x$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 1 + x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 2.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$10 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$10 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Etapa 3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$10 \int u^{- 2} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$10 (- u^{- 1} + C)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva $10 (- u^{- 1} + C)$ como $10 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$10 (- \frac{1}{u}) + C$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$- 10 \frac{1}{u} + C$

Etapa 5.2.2

Combine $- 10$ e $\frac{1}{u}$ .

$\frac{- 10}{u} + C$

Etapa 5.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{10}{u} + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x$ .

$- \frac{10}{1 + x} + C$