Cálculo Exemplos

$y = 4 x^{3} - 3 x^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 3 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 x^{2} - 3 (2 x)$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$12 x^{2} - 6 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{2} - 6 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$f'' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x - 6 \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x - 6 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f'' (x) = 24 x - 6$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$12 x^{2} - 6 x = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 3 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 x^{2} - 3 (2 x)$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 6 x$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2} - 6 x$ .

$12 x^{2} - 6 x$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} - 6 x = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} - 6 x = 0$

Etapa 5.2

Fatore $6 x$ de $12 x^{2} - 6 x$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $6 x$ de $12 x^{2}$ .

$6 x (2 x) - 6 x = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $6 x$ de $- 6 x$ .

$6 x (2 x) + 6 x (- 1) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $6 x$ de $6 x (2 x) + 6 x (- 1)$ .

$6 x (2 x - 1) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 5.5.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.5.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $6 x (2 x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$24 (0) - 6$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Multiplique $24$ por $0$ .

$0 - 6$

Etapa 9.2

Subtraia $6$ de $0$ .

$- 6$

Etapa 10

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 4 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 4 \cdot 0 - 3 {(0)}^{2}$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{2}$

Etapa 11.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0$

Etapa 11.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 11.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{1}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$24 (\frac{1}{2}) - 6$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 13.1.1

Fatore $2$ de $24$ .

$2 (12) \frac{1}{2} - 6$

Etapa 13.1.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 12 \frac{1}{2} - 6$

Etapa 13.1.3

Reescreva a expressão.

$12 - 6$

Etapa 13.2

Subtraia $6$ de $12$ .

$6$

Etapa 14

$x = \frac{1}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{1}{2}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = \frac{1}{2}$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{2}$ na expressão.

$f (\frac{1}{2}) = 4 {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1^{3}}{2^{3}}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 15.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{2^{3}}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 15.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{8}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 15.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 15.2.1.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{4 (2)}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 15.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{4 \cdot 2}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 15.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 15.2.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 3 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Etapa 15.2.1.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 3 \frac{1}{2^{2}}$

Etapa 15.2.1.7

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{4})$

Etapa 15.2.1.8

Combine $- 3$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 3}{4}$

Etapa 15.2.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{3}{4}$

Etapa 15.2.2

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{4}$

Etapa 15.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 15.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{3}{4}$

Etapa 15.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{4} - \frac{3}{4}$

Etapa 15.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 - 3}{4}$

Etapa 15.2.5

Subtraia $3$ de $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4}$

Etapa 15.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}$

Etapa 15.2.7

A resposta final é $- \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = 4 x^{3} - 3 x^{2}$ .

$(0, 0)$ é um máximo local

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$ é um mínimo local

Etapa 17