Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{3} \frac{2 + y e^{y}}{y} d y$

Etapa 1

Divida a fração em diversas frações.

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} + \frac{y e^{y}}{y} d y$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} \frac{y e^{y}}{y} d y$

Etapa 3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum.

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} \frac{y e^{y}}{y} d y$

Etapa 3.2

Divida $e^{y}$ por $1$ .

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

Etapa 4

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{1}^{3} \frac{1}{y} d y + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

Etapa 6

A integral de $e^{y}$ com relação a $y$ é $e^{y}$ .

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{3}) + e^{y}]_{1}^{3}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1.1

Avalie $\ln (| y |)$ em $3$ e em $1$ .

$2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |)) + e^{y}]_{1}^{3}$

Etapa 7.1.2

Avalie $e^{y}$ em $3$ e em $1$ .

$2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)) + e^{3} - e^{1}$

Etapa 7.1.3

Simplifique.

$2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)) + e^{3} - e$

Etapa 7.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}) + e^{3} - e$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$2 \ln (\frac{3}{| 1 |}) + e^{3} - e$

Etapa 7.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$2 \ln (\frac{3}{1}) + e^{3} - e$

Etapa 7.3.3

Divida $3$ por $1$ .

$2 \ln (3) + e^{3} - e$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$2 \ln (3) + e^{3} - e$

Forma decimal:

$19.56447967 \dots$

Etapa 9