Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2}{{(3 x + 2)}^{5}}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{2}{{(3 x + 2)}^{5}} d x$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{1}{{(3 x + 2)}^{5}} d x$

Etapa 4

Deixe $u = 3 x + 2$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = 3 x + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u^{5}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1}{u^{5}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$2 \int \frac{1}{u^{5} \cdot 3} d u$

Etapa 5.2

Mova $3$ para a esquerda de $u^{5}$ .

$2 \int \frac{1}{3 u^{5}} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{5}} d u)$

Etapa 7

Combine frações.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u^{5}} d u$

Etapa 7.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 7.2.1

Mova $u^{5}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{2}{3} \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

Etapa 7.2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{5})}^{- 1}$ .

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Etapa 7.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \int u^{5 \cdot - 1} d u$

Etapa 7.2.2.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int u^{- 5} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 5}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Reescreva $\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$ como $\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}}) + C$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}}) + C$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Multiplique $\frac{1}{u^{4}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{u^{4} \cdot 4}) + C$

Etapa 9.2.2

Mova $4$ para a esquerda de $u^{4}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{4 \cdot u^{4}}) + C$

Etapa 9.2.3

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{4 u^{4}}$ .

$- \frac{2}{3 (4 u^{4})} + C$

Etapa 9.2.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$- \frac{2}{12 u^{4}} + C$

Etapa 9.2.5

Cancele o fator comum de $2$ e $12$ .

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Etapa 9.2.5.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{12 u^{4}} + C$

Etapa 9.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.5.2.1

Fatore $2$ de $12 u^{4}$ .

$- \frac{2 (1)}{2 (6 u^{4})} + C$

Etapa 9.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (6 u^{4})} + C$

Etapa 9.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{6 u^{4}} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x + 2$ .

$- \frac{1}{6 {(3 x + 2)}^{4}} + C$

Etapa 11

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{2}{{(3 x + 2)}^{5}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{6 {(3 x + 2)}^{4}} + C$