Cálculo Exemplos

$\int \frac{{(4 + 2 \sqrt{x})}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 1.3

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 1.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 1.4.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 1.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ . Depois, $d u = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$ , então, $- d u = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + 2 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.1.2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 2.1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 2.1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 2.1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 2.1.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 2.1.3.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 2.1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 2.1.3.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 2.1.3.9

Combine $2$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 2.1.3.10

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.3.11

Cancele o fator comum.

$0 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.3.12

Reescreva a expressão.

$0 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.4

Some $0$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{2} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{3} + C$