Cálculo Exemplos

$f (x) = {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 4$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 1.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 1.5.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 1.6

Combine frações.

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Etapa 1.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 1.6.2

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 1.6.3

Mova ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 1.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 1.9

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

Etapa 1.10

Combine frações.

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Etapa 1.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

Etapa 1.10.2

Combine $2$ e $\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} x$

Etapa 1.10.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} x$

Etapa 1.10.4

Combine $\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $\frac{4}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ em relação a $x$ é $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.3.3

Multiplique ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.6

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.8.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.8.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.9

Combine frações.

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Etapa 2.9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.9.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} - 4)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.9.3

Mova ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.9.4

Combine $\frac{1}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.12

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.13

Combine frações.

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Etapa 2.13.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.13.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.13.3

Combine $- 2$ e $\frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.13.4

Combine $\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.14

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.17

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.18

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.19

Para escrever ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.20

Combine ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.22

Multiplique ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.22.1

Mova ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.22.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.22.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.22.4

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.22.5

Divida $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 4) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.23

Simplifique ${(x^{2} - 4)}^{1} \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 4) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.24

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.25

Reescreva $\frac{\frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ como um produto.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.26

Multiplique $\frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.27

Multiplique ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.27.1

Mova ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 2.27.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Etapa 2.27.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Etapa 2.27.4

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.28

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $\frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2})}{3 (3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 2.29

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.30

Simplifique.

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Etapa 2.30.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2} + 3 \cdot - 4 - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.30.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2}) + 4 (3 \cdot - 4) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.30.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.30.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.30.3.1.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 (3 \cdot - 4) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.30.3.1.2

Multiplique $4 (3 \cdot - 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.30.3.1.2.1

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 \cdot - 12 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.30.3.1.2.2

Multiplique $4$ por $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 48 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.30.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 48 - 8 x^{2}}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.30.3.2

Subtraia $8 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 48}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.30.4

Fatore $4$ de $4 x^{2} - 48$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.30.4.1

Fatore $4$ de $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2}) - 48}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.30.4.2

Fatore $4$ de $- 48$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 12}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.30.4.3

Fatore $4$ de $4 x^{2} + 4 \cdot - 12$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - 12)}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 4.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 4$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 4.1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 4.1.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 4.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 4.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 4.1.5.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 4.1.6

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 4.1.6.2

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 4.1.6.3

Mova ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 4.1.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 4.1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 4.1.9

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

Etapa 4.1.10

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

Etapa 4.1.10.2

Combine $2$ e $\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} x$

Etapa 4.1.10.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} x$

Etapa 4.1.10.4

Combine $\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$4 x = 0$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $4 x = 0$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$x = 0$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 4)}^{1}}}$

Etapa 6.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 4}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 4}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 \sqrt[3]{x^{2} - 4} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(3 \sqrt[3]{x^{2} - 4})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{2} - 4}$ como ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique ${(3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 {({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$27 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$27 {(x^{2} - 4)}^{1} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.4

Simplifique.

$27 (x^{2} - 4) = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$27 x^{2} + 27 \cdot - 4 = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.6

Multiplique $27$ por $- 4$ .

$27 x^{2} - 108 = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$27 x^{2} - 108 = 0$

Etapa 6.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Some $108$ aos dois lados da equação.

$27 x^{2} = 108$

Etapa 6.3.3.2

Divida cada termo em $27 x^{2} = 108$ por $27$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Divida cada termo em $27 x^{2} = 108$ por $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{108}{27}$

Etapa 6.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{108}{27}$

Etapa 6.3.3.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{108}{27}$

Etapa 6.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.3.1

Divida $108$ por $27$ .

$x^{2} = 4$

Etapa 6.3.3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 6.3.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 6.3.3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 6.3.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 6.3.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 6.3.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 6.4

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, - 2, 2$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{4 ({(0)}^{2} - 12)}{9 {({(0)}^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{4 (0 - 12)}{9 {(0^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.2

Subtraia $12$ de $0$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{9 {(0^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{9 {(0 - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{9 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.3

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Multiplique $4$ por $- 12$ .

$\frac{- 48}{9 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.3.2

Fatore $3$ de $- 48$ .

$\frac{3 (- 16)}{9 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Fatore $3$ de $9 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 (- 16)}{3 (3 {(- 4)}^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 9.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot - 16}{3 (3 {(- 4)}^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 9.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 16}{3 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{16}{3 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 10

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {({(0)}^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = {(0 - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$f (0) = {(- 4)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.3

A resposta final é ${(- 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$y = {(- 4)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 {({(- 2)}^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 {(4 - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.3

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Etapa 13.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0^{4}}$

Etapa 13.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0}$

Etapa 13.3.2

Multiplique $9$ por $0$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{0}$

Etapa 13.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{0}$

Etapa 13.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 14

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 14.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, - 2)$ na primeira derivada $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = \frac{4 (- 4)}{3 {({(- 4)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.1

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{- 16}{3 {({(- 4)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.2.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.2.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f' (- 4) = \frac{- 16}{3 {(16 - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.2.2.2.2

Subtraia $4$ de $16$ .

$f' (- 4) = \frac{- 16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 4) = - \frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.2.2.4

A resposta final é $- \frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.3

Substitua qualquer número, como $- 1$ , do intervalo $(- 2, 0)$ na primeira derivada $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = \frac{4 (- 1)}{3 {({(- 1)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3 {({(- 1)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.3.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3 {(1 - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.3.2.2.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 1) = - \frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.3.2.4

A resposta final é $- \frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.4

Substitua qualquer número, como $1$ , do intervalo $(0, 2)$ na primeira derivada $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = \frac{4 (1)}{3 {({(1)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{4}{3 {(1^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.4.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = \frac{4}{3 {(1 - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.4.2.2.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$f' (1) = \frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.4.2.3

A resposta final é $\frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.5

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(2, \infty)$ na primeira derivada $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 14.5.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = \frac{4 (4)}{3 {({(4)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 14.5.2.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$f' (4) = \frac{16}{3 {(4^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.5.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 14.5.2.2.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f' (4) = \frac{16}{3 {(16 - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.5.2.2.2

Subtraia $4$ de $16$ .

$f' (4) = \frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.5.2.3

A resposta final é $\frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = - 2$ , então $x = - 2$ é um mínimo local.

$x = - 2$ é um mínimo local

Etapa 14.7

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um máximo local.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 14.8

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 2$ , então $x = 2$ é um mínimo local.

$x = 2$ é um mínimo local

Etapa 14.9

Esses são os extremos locais para $f (x) = {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = - 2$ é um mínimo local

$x = 0$ é um máximo local

$x = 2$ é um mínimo local

$x = - 2$ é um mínimo local

$x = 0$ é um máximo local

$x = 2$ é um mínimo local

Etapa 15