Cálculo Exemplos

$5 x^{2} (x + 47)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2} (x + 47)$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 47)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 47)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 47$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [x + 47] + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 47$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [47]$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [47]) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 (x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [47]) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.3.3

Como $47$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $47$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 (x^{2} (1 + 0) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$5 (x^{2} \cdot 1 + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.3.4.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$5 (x^{2} + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 (x^{2} + (x + 47) (2 x))$

Etapa 1.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $x + 47$ .

$5 (x^{2} + 2 \cdot (x + 47) x)$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (x^{2} + (2 x + 2 \cdot 47) x)$

Etapa 1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 47 x)$

Etapa 1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} + 5 (2 x \cdot x) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Etapa 1.4.4

Combine os termos.

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Etapa 1.4.4.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$5 x^{2} + 5 (2 (x^{1} x)) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Etapa 1.4.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$5 x^{2} + 5 (2 (x^{1} x^{1})) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Etapa 1.4.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 x^{2} + 5 (2 x^{1 + 1}) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Etapa 1.4.4.4

Some $1$ e $1$ .

$5 x^{2} + 5 (2 x^{2}) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Etapa 1.4.4.5

Multiplique $2$ por $5$ .

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 5 (2 \cdot 47 x)$

Etapa 1.4.4.6

Multiplique $2$ por $47$ .

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 5 (94 x)$

Etapa 1.4.4.7

Multiplique $94$ por $5$ .

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 470 x$

Etapa 1.4.4.8

Some $5 x^{2}$ e $10 x^{2}$ .

$f' (x) = 15 x^{2} + 470 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $15 x^{2} + 470 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15 x^{2}$ em relação a $x$ é $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [470 x]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $15$ .

$30 x + \frac{d}{d x} [470 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [470 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $470$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $470 x$ em relação a $x$ é $470 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x + 470 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$30 x + 470 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $470$ por $1$ .

$f'' (x) = 30 x + 470$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $30 x + 470$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [470]$ .

$\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [470]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [30 x]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $30$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $30 x$ em relação a $x$ é $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [470]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [470]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $30$ por $1$ .

$30 + \frac{d}{d x} [470]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.3.1

Como $470$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $470$ em relação a $x$ é $0$ .

$30 + 0$

Etapa 3.3.2

Some $30$ e $0$ .

$f''' (x) = 30$