Cálculo Exemplos

$\ln (y) + \frac{x}{y} = 2021$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\ln (y) + \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (2021)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\ln (y) + \frac{x}{y}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\ln (y)] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (y)] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 2.2.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{y} y' + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 2.2.3

Combine $\frac{1}{y}$ e $y'$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}}$

Etapa 2.3.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Combine os termos.

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Etapa 2.4.1.1

Para escrever $\frac{y'}{y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y'}{y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4.1.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $y^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.4.1.2.1

Multiplique $\frac{y'}{y}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y' y}{y \cdot y} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4.1.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{y' y}{y^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y' y + y - x y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4.2

Reordene os termos.

$\frac{y y' - x y' + y}{y^{2}}$

Etapa 3

Como $2021$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2021$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{y y' - x y' + y}{y^{2}} = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Defina o numerador como igual a zero.

$y y' - x y' + y = 0$

Etapa 5.2

Resolva a equação para $y'$ .

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Etapa 5.2.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$y y' - x y' = - y$

Etapa 5.2.2

Fatore $y'$ de $y y' - x y'$ .

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Etapa 5.2.2.1

Fatore $y'$ de $y y'$ .

$y' y - x y' = - y$

Etapa 5.2.2.2

Fatore $y'$ de $- x y'$ .

$y' (y) + y' (- x) = - y$

Etapa 5.2.2.3

Fatore $y'$ de $y' (y) + y' (- x)$ .

$y' (y - x) = - y$

Etapa 5.2.3

Divida cada termo em $y' (y - x) = - y$ por $y - x$ e simplifique.

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Etapa 5.2.3.1

Divida cada termo em $y' (y - x) = - y$ por $y - x$ .

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{- y}{y - x}$

Etapa 5.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $y - x$ .

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Etapa 5.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{- y}{y - x}$

Etapa 5.2.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y}{y - x}$

Etapa 5.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y}{y - x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y - x}$