Cálculo Exemplos

$y = 3 x (x^{3} - 1)$

Etapa 1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x (x^{3} - 1)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x (x^{3} - 1)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x (x^{3} - 1)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{3} - 1$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [x^{3} - 1] + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 (x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 (x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 (x (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 (x (3 x^{2}) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 (3 (x^{1} x^{2}) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (3 x^{1 + 2} + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6

Some $1$ e $2$ .

$3 (3 x^{3} + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (3 x^{3} + (x^{3} - 1) \cdot 1)$

Etapa 8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 8.1

Multiplique $x^{3} - 1$ por $1$ .

$3 (3 x^{3} + x^{3} - 1)$

Etapa 8.2

Some $3 x^{3}$ e $x^{3}$ .

$3 (4 x^{3} - 1)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (4 x^{3}) + 3 \cdot - 1$

Etapa 9.2

Combine os termos.

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Etapa 9.2.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$12 x^{3} + 3 \cdot - 1$

Etapa 9.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$12 x^{3} - 3$