Cálculo Exemplos

$\frac{x}{1 - x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x}{1 - x^{2}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x}{1 - x^{2}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x}{1 - x^{2}} d x$

Etapa 4

Deixe $u = 1 - x^{2}$ . Depois, $d u = - 2 x d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = 1 - x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

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Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 4.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Etapa 4.1.4

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 5.2

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 5.3

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 9

Simplifique.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x^{2} |) + C$

Etapa 11

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{x}{1 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x^{2} |) + C$