Cálculo Exemplos

$f (x) = e^{- x} (x^{2} + 2 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{- x}$ e $g (x) = x^{2} + 2 x$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x] + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{- x} (2 x + 2 \cdot 1) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.2.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 1.4.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} \cdot - 1$

Etapa 1.4.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $(x^{2} + 2 x) e^{- x}$ .

$e^{- x} (2 x + 2) - 1 \cdot ((x^{2} + 2 x) e^{- x})$

Etapa 1.4.3.3

Reescreva $- 1 (x^{2} + 2 x)$ como $- (x^{2} + 2 x)$ .

$e^{- x} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

Etapa 1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x)) e^{- x}$

Etapa 1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

Etapa 1.5.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Mova $2$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$e^{- x} (2 x) + 2 \cdot e^{- x} - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

Etapa 1.5.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{- x} (2 x) + 2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x}$

Etapa 1.5.4.3

Subtraia $2 x e^{- x}$ de $e^{- x} (2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.3.1

Mova $e^{- x}$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} - 2 x e^{- x}$

Etapa 1.5.4.3.2

Subtraia $2 x e^{- x}$ de $2 x e^{- x}$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 0$

Etapa 1.5.4.4

Some $2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$ e $0$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$

Etapa 1.5.5

Reordene os termos.

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$

Etapa 1.5.6

Reordene os fatores em $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2} e^{- x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Etapa 2.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Etapa 2.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Etapa 2.2.8

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Etapa 2.2.9

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{- x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{- x} \cdot - 1)$

Etapa 2.3.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (- 1 \cdot e^{- x})$

Etapa 2.3.7

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (- e^{- x})$

Etapa 2.3.8

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) - 2 e^{- x}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) - 2 e^{- x}$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (x^{2} (e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) - 2 e^{- x}$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - (e^{- x} (2 x)) - 2 e^{- x}$

Etapa 2.4.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x}$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = e^{- x} x^{2} - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x}$

Etapa 2.4.4

Reordene os fatores em $e^{- x} x^{2} - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x] + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 4.1.2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 4.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{- x} (2 x + 2 \cdot 1) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 4.1.2.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 4.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 4.1.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 4.1.4.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} \cdot - 1$

Etapa 4.1.4.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $(x^{2} + 2 x) e^{- x}$ .

$e^{- x} (2 x + 2) - 1 \cdot ((x^{2} + 2 x) e^{- x})$

Etapa 4.1.4.3.3

Reescreva $- 1 (x^{2} + 2 x)$ como $- (x^{2} + 2 x)$ .

$e^{- x} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

Etapa 4.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

Etapa 4.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x)) e^{- x}$

Etapa 4.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

Etapa 4.1.5.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.4.1

Mova $2$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$e^{- x} (2 x) + 2 \cdot e^{- x} - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

Etapa 4.1.5.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{- x} (2 x) + 2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x}$

Etapa 4.1.5.4.3

Subtraia $2 x e^{- x}$ de $e^{- x} (2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.4.3.1

Mova $e^{- x}$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} - 2 x e^{- x}$

Etapa 4.1.5.4.3.2

Subtraia $2 x e^{- x}$ de $2 x e^{- x}$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 0$

Etapa 4.1.5.4.4

Some $2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$ e $0$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$

Etapa 4.1.5.5

Reordene os termos.

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$

Etapa 4.1.5.6

Reordene os fatores em $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x} = 0$

Etapa 5.2

Fatore $e^{- x}$ de $- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $e^{- x}$ de $- x^{2} e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x^{2}) + 2 e^{- x} = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $e^{- x}$ de $2 e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} \cdot 2 = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $e^{- x}$ de $e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} \cdot 2$ .

$e^{- x} (- x^{2} + 2) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x^{2} + 2 = 0$

Etapa 5.4

Defina $e^{- x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $e^{- x}$ como igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $e^{- x} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Etapa 5.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 5.4.2.3

Não há uma solução para $e^{- x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 5.5

Defina $- x^{2} + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $- x^{2} + 2$ como igual a $0$ .

$- x^{2} + 2 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $- x^{2} + 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 2$

Etapa 5.5.2.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 2$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 5.5.2.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 5.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} = 2$

Etapa 5.5.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{2}$

Etapa 5.5.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2}$

Etapa 5.5.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2}$

Etapa 5.5.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $e^{- x} (- x^{2} + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \sqrt{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

${(\sqrt{2})}^{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Etapa 9.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Etapa 9.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Etapa 9.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.1

Cancele o fator comum.

$2^{\frac{2}{2}} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Etapa 9.1.4.2

Reescreva a expressão.

$2^{1} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Etapa 9.1.5

Avalie o expoente.

$2 e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

$2 e^{- \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Etapa 9.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Subtraia $2 e^{- \sqrt{2}}$ de $2 e^{- \sqrt{2}}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}} + 0$

Etapa 9.2.2

Some $- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$ e $0$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$

Etapa 10

$x = \sqrt{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \sqrt{2}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\sqrt{2}$ na expressão.

$f (\sqrt{2}) = e^{- (\sqrt{2})} ({(\sqrt{2})}^{2} + 2 (\sqrt{2}))$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 (\sqrt{2}))$

Etapa 11.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 (\sqrt{2}))$

Etapa 11.2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2^{\frac{2}{2}} + 2 (\sqrt{2}))$

Etapa 11.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2^{\frac{2}{2}} + 2 (\sqrt{2}))$

Etapa 11.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2 + 2 (\sqrt{2}))$

Etapa 11.2.1.5

Avalie o expoente.

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2 + 2 (\sqrt{2}))$

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2 + 2 \sqrt{2})$

Etapa 11.2.2

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} \cdot 2 + e^{- \sqrt{2}} (2 \sqrt{2})$

Etapa 11.2.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $e^{- \sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 2 \cdot e^{- \sqrt{2}} + e^{- \sqrt{2}} (2 \sqrt{2})$

Etapa 11.2.3

Mova $2$ para a esquerda de $e^{- \sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 e^{- \sqrt{2}} \sqrt{2}$

Etapa 11.2.4

A resposta final é $2 e^{- \sqrt{2}} + 2 e^{- \sqrt{2}} \sqrt{2}$ .

$y = 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 e^{- \sqrt{2}} \sqrt{2}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \sqrt{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

${(- \sqrt{2})}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

${(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Etapa 13.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 {\sqrt{2}}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Etapa 13.1.3

Multiplique ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

${\sqrt{2}}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Etapa 13.1.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Etapa 13.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Etapa 13.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Etapa 13.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$2^{\frac{2}{2}} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Etapa 13.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$2^{1} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Etapa 13.1.4.5

Avalie o expoente.

$2 e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Etapa 13.1.5

Multiplique $- (- \sqrt{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 e^{1 \sqrt{2}} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Etapa 13.1.5.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$2 e^{\sqrt{2}} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Etapa 13.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Etapa 13.1.7

Multiplique $- (- \sqrt{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{1 \sqrt{2}} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Etapa 13.1.7.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Etapa 13.1.8

Multiplique $- (- \sqrt{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.8.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} - 2 e^{1 \sqrt{2}}$

Etapa 13.1.8.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Etapa 13.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Subtraia $2 e^{\sqrt{2}}$ de $2 e^{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} + 0$

Etapa 13.2.2

Some $2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$ e $0$ .

$2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$

Etapa 14

$x = - \sqrt{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \sqrt{2}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \sqrt{2}$ na expressão.

$f (- \sqrt{2}) = e^{- (- \sqrt{2})} ({(- \sqrt{2})}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Multiplique $- (- \sqrt{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{1 \sqrt{2}} ({(- \sqrt{2})}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Etapa 15.2.1.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} ({(- \sqrt{2})}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Etapa 15.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Etapa 15.2.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (1 {\sqrt{2}}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Etapa 15.2.2.3

Multiplique ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} ({\sqrt{2}}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Etapa 15.2.2.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Etapa 15.2.2.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Etapa 15.2.2.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2^{\frac{2}{2}} + 2 (- \sqrt{2}))$

Etapa 15.2.2.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2^{\frac{2}{2}} + 2 (- \sqrt{2}))$

Etapa 15.2.2.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2 + 2 (- \sqrt{2}))$

Etapa 15.2.2.4.5

Avalie o expoente.

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2 + 2 (- \sqrt{2}))$

Etapa 15.2.2.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2 - 2 \sqrt{2})$

Etapa 15.2.3

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} \cdot 2 + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2})$

Etapa 15.2.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $e^{\sqrt{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2 e^{\sqrt{2}} + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2})$

Etapa 15.2.4

A resposta final é $2 e^{\sqrt{2}} + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2})$ .

$y = 2 e^{\sqrt{2}} + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2})$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = e^{- x} (x^{2} + 2 x)$ .

$(\sqrt{2}, 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 e^{- \sqrt{2}} \sqrt{2})$ é um máximo local

$(- \sqrt{2}, 2 e^{\sqrt{2}} + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2}))$ é um mínimo local

Etapa 17