Cálculo Exemplos

$\int \sqrt{x^{2} + 8 x + 6} d x$

Etapa 1

Complete o quadrado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 8$

$c = 6$

Etapa 1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Etapa 1.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{4}{1}$

Etapa 1.3.2.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$d = 4$

Etapa 1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 6 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$e = 6 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 6 - \frac{64}{4}$

Etapa 1.4.2.1.3

Divida $64$ por $4$ .

$e = 6 - 1 \cdot 16$

Etapa 1.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$e = 6 - 16$

Etapa 1.4.2.2

Subtraia $16$ de $6$ .

$e = - 10$

Etapa 1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(x + 4)}^{2} - 10$ .

$\int \sqrt{{(x + 4)}^{2} - 10} d x$

Etapa 2

Deixe $u = x + 4$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = x + 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.1.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u^{2} - 10} d u$

Etapa 3

Deixe $u = \sqrt{10} \sec (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d u = \sqrt{10} \sec (t) \tan (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)$ é positivo.

$\int \sqrt{{(\sqrt{10} \sec (t))}^{2} - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1

Simplifique $\sqrt{{(\sqrt{10} \sec (t))}^{2} - 10}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\sqrt{10} \sec (t)$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{10}}^{2} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 4.1.1.2

Reescreva ${\sqrt{10}}^{2}$ como $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{10}$ como $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 4.1.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{10^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 4.1.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \sqrt{10^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 4.1.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \sqrt{10^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 4.1.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \sqrt{10^{1} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 4.1.1.2.5

Avalie o expoente.

$\int \sqrt{10 \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 4.1.2

Fatore $10$ de $10 \sec^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{10 (\sec^{2} (t)) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 4.1.3

Fatore $10$ de $- 10$ .

$\int \sqrt{10 \sec^{2} (t) + 10 \cdot - 1} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 4.1.4

Fatore $10$ de $10 \sec^{2} (t) + 10 \cdot - 1$ .

$\int \sqrt{10 (\sec^{2} (t) - 1)} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 4.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \sqrt{10 \tan^{2} (t)} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 4.1.6

Reordene $10$ e $\tan^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{\tan^{2} (t) \cdot 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 4.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$\int \tan (t) \sqrt{10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan (t) \sqrt{10} (\sqrt{10} \sec (t)) d t$

Etapa 4.2.2

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sqrt{10} (\sqrt{10} \sec (t)) d t$

Etapa 4.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int {\tan (t)}^{1 + 1} \sqrt{10} (\sqrt{10} \sec (t)) d t$

Etapa 4.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\int \tan^{2} (t) \sqrt{10} (\sqrt{10} \sec (t)) d t$

Etapa 4.2.5

Eleve $\sqrt{10}$ à potência de $1$ .

$\int \tan^{2} (t) ({\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}) \sec (t) d t$

Etapa 4.2.6

Eleve $\sqrt{10}$ à potência de $1$ .

$\int \tan^{2} (t) ({\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}) \sec (t) d t$

Etapa 4.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \tan^{2} (t) {\sqrt{10}}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Etapa 4.2.8

Some $1$ e $1$ .

$\int \tan^{2} (t) {\sqrt{10}}^{2} \sec (t) d t$

Etapa 4.2.9

Reescreva ${\sqrt{10}}^{2}$ como $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.9.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{10}$ como $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \tan^{2} (t) {(10^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec (t) d t$

Etapa 4.2.9.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \tan^{2} (t) \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec (t) d t$

Etapa 4.2.9.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \tan^{2} (t) \cdot 10^{\frac{2}{2}} \sec (t) d t$

Etapa 4.2.9.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.9.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \tan^{2} (t) \cdot 10^{\frac{2}{2}} \sec (t) d t$

Etapa 4.2.9.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \tan^{2} (t) \cdot 10^{1} \sec (t) d t$

Etapa 4.2.9.5

Avalie o expoente.

$\int \tan^{2} (t) \cdot 10 \sec (t) d t$

Etapa 4.2.10

Mova $10$ para a esquerda de $\tan^{2} (t)$ .

$\int 10 \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Etapa 5

Como $10$ é constante com relação a $t$ , mova $10$ para fora da integral.

$10 \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Etapa 6

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$10 \int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 7

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$10 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 8

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$10 \int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 8.2

Simplifique cada termo.

$10 \int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$10 (\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$10 (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 11

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 12

Fatore $\sec (t)$ de $\sec^{3} (t)$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

Etapa 13

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sec (t)$ e $d v = \sec^{2} (t)$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Etapa 14

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Etapa 15

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Etapa 16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Etapa 17

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Some $1$ e $1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Etapa 17.2

Reordene $\tan^{2} (t)$ e $\sec (t)$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Etapa 18

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Etapa 19

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Reescreva a exponenciação como um produto.

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Etapa 19.2

Aplique a propriedade distributiva.

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Etapa 19.3

Reordene $\sec (t)$ e $- 1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Etapa 20

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Etapa 21

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Etapa 22

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Etapa 23

Some $1$ e $1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Etapa 24

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Etapa 25

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Etapa 26

Some $2$ e $1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 27

Divida a integral única em várias integrais.

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Etapa 28

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Etapa 29

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Etapa 30

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 30.1

Aplique a propriedade distributiva.

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 30.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 31

Ao resolver $\int \sec^{3} (t) d t$ , descobrimos que $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Etapa 32

Multiplique $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ por $1$ .

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Etapa 33

Simplifique.

$10 \frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2 + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Etapa 34

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 34.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$10 \frac{- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Etapa 34.2

Some $- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ e $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$10 \frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Etapa 34.3

Combine $10$ e $\frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}$ .

$\frac{10 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{2} + C$

Etapa 34.4

Cancele o fator comum de $10$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 34.4.1

Fatore $2$ de $10 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))$ .

$\frac{2 (5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2} + C$

Etapa 34.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 34.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2 (1)} + C$

Etapa 34.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2 \cdot 1} + C$

Etapa 34.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{1} + C$

Etapa 34.4.2.4

Divida $5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))$ por $1$ .

$5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Etapa 35

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 35.1

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $arcsec (\frac{u}{\sqrt{10}})$ .

$5 (\sec (arcsec (\frac{u}{\sqrt{10}})) \tan (arcsec (\frac{u}{\sqrt{10}})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{u}{\sqrt{10}})) + \tan (arcsec (\frac{u}{\sqrt{10}})) |)) + C$

Etapa 35.2

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 4$ .

$5 (\sec (arcsec (\frac{x + 4}{\sqrt{10}})) \tan (arcsec (\frac{x + 4}{\sqrt{10}})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 4}{\sqrt{10}})) + \tan (arcsec (\frac{x + 4}{\sqrt{10}})) |)) + C$

Etapa 36

Reordene os termos.

$5 (\sec (arcsec (\frac{1}{\sqrt{10}} (x + 4))) \tan (arcsec (\frac{1}{\sqrt{10}} (x + 4))) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{\sqrt{10}} (x + 4))) + \tan (arcsec (\frac{1}{\sqrt{10}} (x + 4))) |)) + C$