Cálculo Exemplos

$y = 9^{1 - x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (9^{1 - x^{2}})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = 9^{x}$ e $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [9^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $9$ .

$9^{u} \ln (9) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x^{2}$ .

$9^{1 - x^{2}} \ln (9) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$9^{1 - x^{2}} \ln (9) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 3.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$9^{1 - x^{2}} \ln (9) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 3.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$9^{1 - x^{2}} \ln (9) \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 3.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9^{1 - x^{2}} \ln (9) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$9^{1 - x^{2}} \ln (9) (- (2 x))$

Etapa 3.2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$9^{1 - x^{2}} \ln (9) (- 2 x)$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Reordene os fatores de $9^{1 - x^{2}} \ln (9) (- 2 x)$ .

$- 2 \cdot 9^{1 - x^{2}} x \ln (9)$

Etapa 3.3.2

Reordene os fatores em $- 2 \cdot 9^{1 - x^{2}} x \ln (9)$ .

$- 2 x \cdot 9^{1 - x^{2}} \ln (9)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - 2 x \cdot (9^{1 - x^{2}} \ln (9))$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 x \cdot (9^{1 - x^{2}} \ln (9))$