Cálculo Exemplos

$y = (3 x^{4} - 7) \cdot (5 x^{2} + 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 3 x^{4} - 7$ e $g (x) = 5 x^{2} + 1$ .

$(3 x^{4} - 7) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 1] + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(3 x^{4} - 7) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Etapa 2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{4} - 7) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(3 x^{4} - 7) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $5$ .

$(3 x^{4} - 7) (10 x + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Etapa 2.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(3 x^{4} - 7) (10 x + 0) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $10 x$ e $0$ .

$(3 x^{4} - 7) (10 x) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Etapa 2.6.2

Mova $10$ para a esquerda de $3 x^{4} - 7$ .

$10 \cdot (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 2.8

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 2.10

Multiplique $4$ por $3$ .

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 2.11

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (12 x^{3} + 0)$

Etapa 2.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.12.1

Some $12 x^{3}$ e $0$ .

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (12 x^{3})$

Etapa 2.12.2

Mova $12$ para a esquerda de $5 x^{2} + 1$ .

$10 (3 x^{4} - 7) x + 12 \cdot (5 x^{2} + 1) x^{3}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(10 (3 x^{4}) + 10 \cdot - 7) x + 12 (5 x^{2} + 1) x^{3}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$10 (3 x^{4}) x + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2} + 1) x^{3}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$10 (3 x^{4}) x + 10 \cdot - 7 x + (12 (5 x^{2}) + 12 \cdot 1) x^{3}$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$10 (3 x^{4}) x + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Etapa 3.5

Combine os termos.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $3$ por $10$ .

$30 x^{4} x + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Etapa 3.5.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$30 (x^{1} x^{4}) + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Etapa 3.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$30 x^{1 + 4} + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Etapa 3.5.4

Some $1$ e $4$ .

$30 x^{5} + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Etapa 3.5.5

Multiplique $10$ por $- 7$ .

$30 x^{5} - 70 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Etapa 3.5.6

Multiplique $5$ por $12$ .

$30 x^{5} - 70 x + 60 x^{2} x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Etapa 3.5.7

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.7.1

Mova $x^{3}$ .

$30 x^{5} - 70 x + 60 (x^{3} x^{2}) + 12 \cdot 1 x^{3}$

Etapa 3.5.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$30 x^{5} - 70 x + 60 x^{3 + 2} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Etapa 3.5.7.3

Some $3$ e $2$ .

$30 x^{5} - 70 x + 60 x^{5} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Etapa 3.5.8

Multiplique $12$ por $1$ .

$30 x^{5} - 70 x + 60 x^{5} + 12 x^{3}$

Etapa 3.5.9

Some $30 x^{5}$ e $60 x^{5}$ .

$90 x^{5} - 70 x + 12 x^{3}$

Etapa 3.6

Reordene os termos.

$90 x^{5} + 12 x^{3} - 70 x$