Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{4} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Etapa 1.1.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Etapa 1.1.2.4

Combine $\frac{4}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Etapa 1.1.2.5

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Etapa 1.1.2.5.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Como $\frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3}{2} x^{2}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3}{2} (2 x)$

Etapa 1.1.4.3

Combine $2$ e $\frac{3}{2}$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} x$

Etapa 1.1.4.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{6}{2} x$

Etapa 1.1.4.5

Combine $\frac{6}{2}$ e $x$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{6 x}{2}$

Etapa 1.1.4.6

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.6.1

Fatore $2$ de $6 x$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2}$

Etapa 1.1.4.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)}$

Etapa 1.1.4.6.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.1.4.6.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3 x}{1}$

Etapa 1.1.4.6.2.4

Divida $3 x$ por $1$ .

$f' (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 6 x + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 6 x + 3$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} + 6 x + 3$ .

$3 x^{2} + 6 x + 3$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} + 6 x + 3 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} + 6 x + 3 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 6 x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 6 x + 3 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $3$ de $6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) + 3 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $3$ de $3$ .

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (1) = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $3$ de $3 (x^{2}) + 3 (2 x)$ .

$3 (x^{2} + 2 x) + 3 (1) = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $3$ de $3 (x^{2} + 2 x) + 3 (1)$ .

$3 (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$3 (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 2.2.2.3

Reescreva o polinômio.

$3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 2.2.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} = 0$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $3 {(x + 1)}^{2} = 0$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $3 {(x + 1)}^{2} = 0$ por $3$ .

$\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida ${(x + 1)}^{2}$ por $1$ .

${(x + 1)}^{2} = \frac{0}{3}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Divida $0$ por $3$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Etapa 2.4

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.5

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $- 1$ em $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = \frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2} \cdot 1$

Etapa 3.1.2.1.5

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2}$

Etapa 3.1.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Escreva $- 1$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1}{1} + \frac{3}{2}$

Etapa 3.1.2.2.2

Multiplique $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{2}$

Etapa 3.1.2.2.3

Multiplique $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3}{2}$

Etapa 3.1.2.2.4

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.1.2.2.5

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.2.2.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3 \cdot 2}{4}$

Etapa 3.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 1) = \frac{1 - 1 \cdot 4 + 3 \cdot 2}{4}$

Etapa 3.1.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (- 1) = \frac{1 - 4 + 3 \cdot 2}{4}$

Etapa 3.1.2.4.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 - 4 + 6}{4}$

Etapa 3.1.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.5.1

Subtraia $4$ de $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 3 + 6}{4}$

Etapa 3.1.2.5.2

Some $- 3$ e $6$ .

$f (- 1) = \frac{3}{4}$

Etapa 3.1.2.6

A resposta final é $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $- 1$ em $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ é $(- 1, \frac{3}{4})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 1, \frac{3}{4})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.1$ na expressão.

$f'' (- 1.1) = 3 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1) + 3$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 1.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.1) = 3 \cdot 1.21 + 6 (- 1.1) + 3$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $3$ por $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 3.63 + 6 (- 1.1) + 3$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $6$ por $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 3.63 - 6.6 + 3$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Subtraia $6.6$ de $3.63$ .

$f'' (- 1.1) = - 2.97 + 3$

Etapa 5.2.2.2

Some $- 2.97$ e $3$ .

$f'' (- 1.1) = 0.03$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $0.03$ .

$0.03$

Etapa 5.3

Em $- 1.1$ , a segunda derivada é $0.03$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - 1)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 1)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 1, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.9$ na expressão.

$f'' (- 0.9) = 3 {(- 0.9)}^{2} + 6 (- 0.9) + 3$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 0.9$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.9) = 3 \cdot 0.81 + 6 (- 0.9) + 3$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $3$ por $0.81$ .

$f'' (- 0.9) = 2.43 + 6 (- 0.9) + 3$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $6$ por $- 0.9$ .

$f'' (- 0.9) = 2.43 - 5.4 + 3$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $5.4$ de $2.43$ .

$f'' (- 0.9) = - 2.97 + 3$

Etapa 6.2.2.2

Some $- 2.97$ e $3$ .

$f'' (- 0.9) = 0.03$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $0.03$ .

$0.03$

Etapa 6.3

Em $- 0.9$ , a segunda derivada é $0.03$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- 1, \infty)$ .

Acréscimo em $(- 1, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. No gráfico, não há pontos que satisfaçam esses requisitos.

Nenhum ponto de inflexão