Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{12 - x} - 2}{\sqrt{24 - x} - 4}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{12 - x} - 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{12 - x} - lim_{x \to 8} 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 12 - x} - lim_{x \to 8} 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Etapa 1.1.2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 12 - lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie o limite de $12$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{12 - lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{12 - lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{12 - 8} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Etapa 1.1.2.6.2

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.2.1.1

Subtraia $8$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Etapa 1.1.2.6.2.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Etapa 1.1.2.6.2.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Etapa 1.1.2.6.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Etapa 1.1.2.6.2.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - lim_{x \to 8} 4}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 8} 24 - x} - lim_{x \to 8} 4}$

Etapa 1.1.3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 8} 24 - lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 4}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie o limite de $24$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{0}{\sqrt{24 - lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 4}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{0}{\sqrt{24 - lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique os termos.

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Etapa 1.1.3.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{24 - 8} - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.6.2

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.6.2.1.1

Subtraia $8$ de $24$ .

$\frac{0}{\sqrt{16} - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.6.2.1.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{4^{2}} - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.6.2.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.6.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Etapa 1.1.3.6.2.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6.2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{12 - x} - 2}{\sqrt{24 - x} - 4} = lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{12 - x} - 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{12 - x} - 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{12 - x} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{12 - x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{12 - x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{12 - x}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{12 - x}$ como ${(12 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 12 - x$ .

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Etapa 1.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $12 - x$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [12 - x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Etapa 1.3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [12 - x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Etapa 1.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $12 - x$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [12 - x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Etapa 1.3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Etapa 1.3.3.4

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Etapa 1.3.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Etapa 1.3.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Etapa 1.3.3.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Etapa 1.3.3.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Etapa 1.3.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Etapa 1.3.3.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Etapa 1.3.3.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Etapa 1.3.3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Etapa 1.3.3.12

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Etapa 1.3.3.13

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Etapa 1.3.3.14

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{{(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Etapa 1.3.3.15

Combine $\frac{{(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $- 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{{(12 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Etapa 1.3.3.16

Mova $- 1$ para a esquerda de ${(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{- 1 \cdot {(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Etapa 1.3.3.17

Reescreva $- 1 {(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{- {(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Etapa 1.3.3.18

Mova ${(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{- 1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Etapa 1.3.3.19

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Etapa 1.3.5

Some $- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{24 - x} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x}]$ .

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Etapa 1.3.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{24 - x}$ como ${(24 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [{(24 - x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 24 - x$ .

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Etapa 1.3.7.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $24 - x$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [24 - x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [24 - x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $24 - x$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [24 - x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $24 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.4

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.12

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.13

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.14

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{{(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.15

Combine $\frac{{(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $- 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{{(24 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.16

Mova $- 1$ para a esquerda de ${(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{- 1 \cdot {(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.17

Reescreva $- 1 {(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{- {(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.18

Mova ${(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{- 1}{2 {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.19

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{1}{2 {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{1}{2 {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $- \frac{1}{2 {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{1}{2 {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 8} - \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- (2 {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 1.5

Converta expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 1.5.1

Reescreva ${(12 - x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{12 - x}$ .

$lim_{x \to 8} - \frac{1}{2 \sqrt{12 - x}} (- (2 {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 1.5.2

Reescreva ${(24 - x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{24 - x}$ .

$lim_{x \to 8} - \frac{1}{2 \sqrt{12 - x}} (- (2 \sqrt{24 - x}))$

Etapa 1.6

Combine os fatores.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 8} - \frac{1}{2 \sqrt{12 - x}} (- 2 \sqrt{24 - x})$

Etapa 1.6.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 8} 2 \frac{1}{2 \sqrt{12 - x}} \sqrt{24 - x}$

Etapa 1.6.3

Combine $2$ e $\frac{1}{2 \sqrt{12 - x}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{2}{2 \sqrt{12 - x}} \sqrt{24 - x}$

Etapa 1.6.4

Combine $\frac{2}{2 \sqrt{12 - x}}$ e $\sqrt{24 - x}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{2 \sqrt{24 - x}}{2 \sqrt{12 - x}}$

Etapa 1.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.7.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 8} \frac{2 \sqrt{24 - x}}{2 \sqrt{12 - x}}$

Etapa 1.7.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{24 - x}}{\sqrt{12 - x}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x}}{lim_{x \to 8} \sqrt{12 - x}}$

Etapa 2.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 24 - x}}{lim_{x \to 8} \sqrt{12 - x}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 24 - lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} \sqrt{12 - x}}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $24$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{24 - lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} \sqrt{12 - x}}$

Etapa 2.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{24 - lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{lim_{x \to 8} 12 - x}}$

Etapa 2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{24 - lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{lim_{x \to 8} 12 - lim_{x \to 8} x}}$

Etapa 2.7

Avalie o limite de $12$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{24 - lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{12 - lim_{x \to 8} x}}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{24 - 8}}{\sqrt{12 - lim_{x \to 8} x}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{24 - 8}}{\sqrt{12 - 8}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Combine $\sqrt{24 - 8}$ e $\sqrt{12 - 8}$ em um único radical.

$\sqrt{\frac{24 - 8}{12 - 8}}$

Etapa 4.2

Subtraia $8$ de $24$ .

$\sqrt{\frac{16}{12 - 8}}$

Etapa 4.3

Subtraia $8$ de $12$ .

$\sqrt{\frac{16}{4}}$

Etapa 4.4

Divida $16$ por $4$ .

$\sqrt{4}$

Etapa 4.5

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Etapa 4.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$2$