Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 3} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{2} + 2 x - 3$ . Depois, $d u = (2 x + 2) d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = (x + 1) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{2} + 2 x - 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2} + 2 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $2 x + 2$ e $0$ .

$2 x + 2$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{2} + 2 x - 3$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 2 \cdot 0 - 3$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0 - 3$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 - 3$

Etapa 1.3.2

Some $0$ e $0$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Etapa 1.3.3

Subtraia $3$ de $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{2} + 2 x - 3$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 2 \cdot 1 - 3$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1 - 3$

Etapa 1.5.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2 - 3$

Etapa 1.5.2

Some $1$ e $2$ .

$u_{upper} = 3 - 3$

Etapa 1.5.3

Subtraia $3$ de $3$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{- 3}^{0} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 3}^{0} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\int_{- 3}^{0} \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{0} \frac{1}{u} d u$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{- 3}^{0}$

Etapa 5

Avalie $\ln (| u |)$ em $0$ e em $- 3$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 0 |) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 0 |}{| - 3 |})$

Etapa 6.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (\frac{| 0 |}{| - 3 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 0 |}{| - 3 |})}{2}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $0$ é $0$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{| - 3 |})}{2}$

Etapa 7.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 3$ e $0$ é $3$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{3})}{2}$

Etapa 7.3

Divida $0$ por $3$ .

$\frac{\ln (0)}{2}$

Etapa 7.4

O logaritmo natural de zero é indefinido.

Indefinido

$\frac{\ln (0)}{2}$

Etapa 8

O logaritmo natural de zero é indefinido.

Indefinido