Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{2} (x + 1) e^{- 2 x} d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x + 1$ e $d v = e^{- 2 x}$ .

$(x + 1) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Etapa 2.2

Combine $e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - - \int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + 1 \int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Etapa 4.2

Multiplique $\int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ por $1$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{1}^{2} e^{- 2 x} d x$

Etapa 6

Deixe $u = - 2 x$ . Depois, $d u = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Deixe $u = - 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 6.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 6.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 6.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - 2 x$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 1$

Etapa 6.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$u_{lower} = - 2$

Etapa 6.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - 2 x$ .

$u_{upper} = - 2 \cdot 2$

Etapa 6.5

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$u_{upper} = - 4$

Etapa 6.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 4$

Etapa 6.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 7.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} (- \int_{- 2}^{- 4} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Etapa 9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} d u))$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} d u$

Etapa 10.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \frac{1}{4} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} d u$

Etapa 11

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \frac{1}{4} e^{u}]_{- 2}^{- 4}$

Etapa 12

Substitua e simplifique.

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Etapa 12.1

Avalie $(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})$ em $2$ e em $1$ .

$((2 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 2}}{2})) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} e^{u}]_{- 2}^{- 4}$

Etapa 12.2

Avalie $e^{u}$ em $- 4$ e em $- 2$ .

$((2 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 2}}{2})) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Etapa 12.3

Simplifique.

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Etapa 12.3.1

Some $2$ e $1$ .

$3 (- \frac{e^{- 2 \cdot 2}}{2}) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Etapa 12.3.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$3 (- \frac{e^{- 4}}{2}) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Etapa 12.3.3

Mova $e^{- 4}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{2 e^{4}}) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Etapa 12.3.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 \frac{1}{2 e^{4}} - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Etapa 12.3.5

Combine $- 3$ e $\frac{1}{2 e^{4}}$ .

$\frac{- 3}{2 e^{4}} - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Etapa 12.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{2 e^{4}} - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Etapa 12.3.7

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 1 \cdot 2 (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Etapa 12.3.8

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 2 (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Etapa 12.3.9

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 2 (- \frac{e^{- 2}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Etapa 12.3.10

Mova $e^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 2 (- \frac{1}{2 e^{2}}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Etapa 12.3.11

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Etapa 12.3.12

Combine $2$ e $\frac{1}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{2}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Etapa 12.3.13

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.3.13.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{2}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Etapa 12.3.13.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{1}{e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Etapa 12.3.14

Para escrever $- \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 e^{4}}{2 e^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{2}} - \frac{3}{2 e^{4}} - \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) \cdot \frac{2 e^{4}}{2 e^{4}}$

Etapa 12.3.15

Combine $- \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})$ e $\frac{2 e^{4}}{2 e^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{2}} - \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{- \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) (2 e^{4})}{2 e^{4}}$

Etapa 12.3.16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) (2 e^{4})}{2 e^{4}}$

Etapa 12.3.17

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - 2 (\frac{1}{4}) (e^{- 4} - e^{- 2}) e^{4}}{2 e^{4}}$

Etapa 12.3.18

Combine $- 2$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{- 2}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) e^{4}}{2 e^{4}}$

Etapa 12.3.19

Combine $e^{4}$ e $\frac{- 2}{4}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{e^{4} \cdot - 2}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Etapa 12.3.20

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{4}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{- 2 \cdot e^{4}}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Etapa 12.3.21

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.21.1

Fatore $2$ de $- 2 e^{4}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{2 (- e^{4})}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Etapa 12.3.21.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.21.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{2 (- e^{4})}{2 (2)} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Etapa 12.3.21.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{2 (- e^{4})}{2 \cdot 2} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Etapa 12.3.21.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{- e^{4}}{2} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Etapa 12.3.22

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{4}}{2} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{4}}{2} e^{- 4} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Etapa 13.1.1.2

Multiplique $- \frac{e^{4}}{2} e^{- 4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.2.1

Combine $e^{- 4}$ e $\frac{e^{4}}{2}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{- 4} e^{4}}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Etapa 13.1.1.2.2

Multiplique $e^{- 4}$ por $e^{4}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{- 4 + 4}}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Etapa 13.1.1.2.2.2

Some $- 4$ e $4$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{0}}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Etapa 13.1.1.2.3

Simplifique $e^{0}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Etapa 13.1.1.3

Multiplique $- \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + 1 \frac{e^{4}}{2} e^{- 2}}{2 e^{4}}$

Etapa 13.1.1.3.2

Multiplique $\frac{e^{4}}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{4}}{2} e^{- 2}}{2 e^{4}}$

Etapa 13.1.1.3.3

Combine $\frac{e^{4}}{2}$ e $e^{- 2}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{4} e^{- 2}}{2}}{2 e^{4}}$

Etapa 13.1.1.3.4

Multiplique $e^{4}$ por $e^{- 2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.3.4.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{4 - 2}}{2}}{2 e^{4}}$

Etapa 13.1.1.3.4.2

Subtraia $2$ de $4$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Etapa 13.1.1.4

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Etapa 13.1.1.5

Combine $- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Etapa 13.1.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 3 \cdot 2 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Etapa 13.1.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.7.1

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 6 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Etapa 13.1.1.7.2

Subtraia $1$ de $- 6$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 7}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Etapa 13.1.1.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 7 + e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Etapa 13.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{4}}$

Etapa 13.1.3

Multiplique $\frac{- 7 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.1

Multiplique $\frac{- 7 + e^{2}}{2}$ por $\frac{1}{2 e^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{2 (2 e^{4})}$

Etapa 13.1.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Etapa 13.2

Para escrever $\frac{1}{e^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4 e^{2}}{4 e^{2}}$ .

$\frac{1}{e^{2}} \cdot \frac{4 e^{2}}{4 e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Etapa 13.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4 e^{4}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1

Multiplique $\frac{1}{e^{2}}$ por $\frac{4 e^{2}}{4 e^{2}}$ .

$\frac{4 e^{2}}{e^{2} (4 e^{2})} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Etapa 13.3.2

Multiplique $e^{2}$ por $e^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 13.3.2.1

Mova $e^{2}$ .

$\frac{4 e^{2}}{e^{2} e^{2} \cdot 4} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Etapa 13.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 e^{2}}{e^{2 + 2} \cdot 4} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Etapa 13.3.2.3

Some $2$ e $2$ .

$\frac{4 e^{2}}{e^{4} \cdot 4} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Etapa 13.3.3

Reordene os fatores de $e^{4} \cdot 4$ .

$\frac{4 e^{2}}{4 e^{4}} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Etapa 13.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 e^{2} - 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Etapa 13.5

Some $4 e^{2}$ e $e^{2}$ .

$\frac{5 e^{2} - 7}{4 e^{4}}$

Etapa 14

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{5 e^{2} - 7}{4 e^{4}}$

Forma decimal:

$0.13711673 \dots$

Etapa 15