Cálculo Exemplos

$y = arctanh (1 - 2 x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = arctanh (x)$ e $g (x) = 1 - 2 x$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [arctanh (u)] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Etapa 1.2

A derivada de $arctanh (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 - u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 - u^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - 2 x$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Etapa 2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.5

Combine frações.

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Etapa 2.5.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \cdot 1$

Etapa 2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{2}{1^{2} - {(1 - 2 x)}^{2}}$

Etapa 3.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = 1 - 2 x$ .

$- \frac{2}{(1 + 1 - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

Etapa 3.1.3

Simplifique.

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Etapa 3.1.3.1

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{2}{(2 - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

Etapa 3.1.3.2

Fatore $2$ de $2 - 2 x$ .

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Etapa 3.1.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{2}{(2 (1) - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

Etapa 3.1.3.2.2

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$- \frac{2}{(2 (1) + 2 (- x)) (1 - (1 - 2 x))}$

Etapa 3.1.3.2.3

Fatore $2$ de $2 (1) + 2 (- x)$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - (1 - 2 x))}$

Etapa 3.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 \cdot 1 - (- 2 x))}$

Etapa 3.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 - (- 2 x))}$

Etapa 3.1.3.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 + 2 x)}$

Etapa 3.1.3.6

Subtraia $1$ de $1$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (0 + 2 x)}$

Etapa 3.1.3.7

Some $0$ e $2 x$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) \cdot 2 x}$

Etapa 3.1.3.8

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{2}{4 (1 - x) x}$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{4 (1 - x) x}$

Etapa 3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $2$ de $4 (1 - x) x$ .

$- \frac{2 (1)}{2 (2 (1 - x) x)}$

Etapa 3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (2 (1 - x) x)}$

Etapa 3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2 (1 - x) x}$

Etapa 3.3

Reordene os fatores em $- \frac{1}{2 (1 - x) x}$ .

$- \frac{1}{2 x (1 - x)}$