Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{3} \frac{3}{2} \sqrt{x + 1} d x$

Etapa 1

Como $\frac{3}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{3}{2}$ para fora da integral.

$\frac{3}{2} \int_{0}^{3} \sqrt{x + 1} d x$

Etapa 2

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 2.3

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Etapa 2.5

Some $3$ e $1$ .

$u_{upper} = 4$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{3}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Etapa 3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $4$ e em $1$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 5.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 5.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 5.2.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 5.2.5

Combine $\frac{2}{3}$ e $8$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 5.2.6

Multiplique $2$ por $8$ .

$\frac{3}{2} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 5.2.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{3}{2} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Etapa 5.2.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{3}{2} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Etapa 5.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{16 - 2}{3}$

Etapa 5.2.10

Subtraia $2$ de $16$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{14}{3}$

Etapa 5.2.11

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{14}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 14}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.2.12

Multiplique $3$ por $14$ .

$\frac{42}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.2.13

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{42}{6}$

Etapa 5.2.14

Cancele o fator comum de $42$ e $6$ .

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Etapa 5.2.14.1

Fatore $6$ de $42$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6}$

Etapa 5.2.14.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.14.2.1

Fatore $6$ de $6$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6 (1)}$

Etapa 5.2.14.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 1}$

Etapa 5.2.14.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{7}{1}$

Etapa 5.2.14.2.4

Divida $7$ por $1$ .

$7$

Etapa 6