Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{2} (4 x + 5) e^{- x} d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = 4 x + 5$ e $d v = e^{- x}$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} - e^{- x} \cdot 4 d x$

Etapa 2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} - 4 e^{- x} d x$

Etapa 3

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - (- 4 \int_{0}^{2} e^{- x} d x)$

Etapa 4

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 \int_{0}^{2} e^{- x} d x$

Etapa 5

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 5.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Etapa 5.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

Etapa 5.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

Etapa 7

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - 4 \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Etapa 8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - 4 (e^{u}]_{0}^{- 2})$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1

Avalie $(4 x + 5) (- e^{- x})$ em $2$ e em $0$ .

$((4 \cdot 2 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2})) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 (e^{u}]_{0}^{- 2})$

Etapa 9.2

Avalie $e^{u}$ em $- 2$ e em $0$ .

$((4 \cdot 2 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2})) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$(8 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 9.3.2

Some $8$ e $5$ .

$13 (- e^{- 1 \cdot 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 9.3.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$13 (- e^{- 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 9.3.4

Multiplique $- 1$ por $13$ .

$- 13 e^{- 2} - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 9.3.5

Multiplique $4$ por $0$ .

$- 13 e^{- 2} - (0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 9.3.6

Some $0$ e $5$ .

$- 13 e^{- 2} - 1 \cdot 5 (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 9.3.7

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 9.3.8

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 (- e^{0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 9.3.9

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 (- 1 \cdot 1) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 9.3.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 \cdot - 1 - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 9.3.11

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 9.3.12

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

Etapa 9.3.13

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 13 \frac{1}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Etapa 10.1.2

Combine $- 13$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{- 13}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Etapa 10.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Etapa 10.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 e^{- 2} - 4 \cdot - 1$

Etapa 10.1.5

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 e^{- 2} + 4$

Etapa 10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 \frac{1}{e^{2}} + 4$

Etapa 10.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 + \frac{- 4}{e^{2}} + 4$

Etapa 10.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - \frac{4}{e^{2}} + 4$

Etapa 10.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 + 4 + \frac{- 13 - 4}{e^{2}}$

Etapa 10.4

Subtraia $4$ de $- 13$ .

$5 + 4 + \frac{- 17}{e^{2}}$

Etapa 10.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$5 + 4 - \frac{17}{e^{2}}$

Etapa 10.6

Some $5$ e $4$ .

$9 - \frac{17}{e^{2}}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$9 - \frac{17}{e^{2}}$

Forma decimal:

$6.69930018 \dots$

Etapa 12