Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Etapa 1

Escreva a integral como um limite à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Etapa 2

Deixe $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Depois, $d u_{2} = - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$ , então, $- \frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{- x^{3}} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $e^{- x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{3}}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{3}$ .

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Etapa 2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x^{3}$ .

$e^{- x^{3}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.1.3

Diferencie.

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{- x^{3}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$e^{- x^{3}} (- (3 x^{2}))$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.4.1

Reordene os fatores de $e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$ .

$- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$

Etapa 2.1.4.2

Reordene os fatores em $- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$ .

$- 3 x^{2} e^{- x^{3}}$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{2} = e^{- x^{3}}$ .

$u_{lower} = e^{- 0^{3}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = e^{- 0}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Etapa 2.3.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{2} = e^{- x^{3}}$ .

$u_{upper} = e^{- t^{3}}$

Etapa 2.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{- t^{3}}$

Etapa 2.6

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{3}}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Etapa 3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{3}}} - \frac{1}{3} d u_{2}$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{e^{- t^{3}}}$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $- \frac{1}{3} u_{2}$ em $e^{- t^{3}}$ e em $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{3} e^{- t^{3}}) + \frac{1}{3} \cdot 1$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Combine $e^{- t^{3}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1$

Etapa 5.2.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}}}{3} + \frac{1}{3}$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Combine as frações usando um denominador comum.

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Etapa 6.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{t \to \infty} \frac{- e^{- t^{3}} + 1}{3}$

Etapa 6.1.2

Fatore $- 1$ de $- e^{- t^{3}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}}) + 1}{3}$

Etapa 6.1.3

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}}) - 1 (- 1)}{3}$

Etapa 6.1.4

Fatore $- 1$ de $- (e^{- t^{3}}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}} - 1)}{3}$

Etapa 6.1.5

Reescreva $- (e^{- t^{3}} - 1)$ como $- 1 (e^{- t^{3}} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (e^{- t^{3}} - 1)}{3}$

Etapa 6.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}} - 1}{3}$

Etapa 6.2

Avalie o limite.

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Etapa 6.2.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{3}} - 1}{3}$

Etapa 6.2.2

Mova o termo $\frac{1}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} e^{- t^{3}} - 1$

Etapa 6.2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$- \frac{1}{3} (lim_{t \to \infty} e^{- t^{3}} - lim_{t \to \infty} 1)$

Etapa 6.3

Como o expoente $- t^{3}$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{- t^{3}}$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{3} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Etapa 6.4

Avalie o limite.

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Etapa 6.4.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$- \frac{1}{3} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 6.4.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{3} (0 - 1)$

Etapa 6.4.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot - 1$

Etapa 6.4.2.3

Multiplique $- \frac{1}{3} \cdot - 1$ .

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Etapa 6.4.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3})$

Etapa 6.4.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{3}$