Cálculo Exemplos

$\int 2 x e^{- 2 x} d x$

Etapa 1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int x e^{- 2 x} d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{- 2 x}$ .

$2 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine $e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Etapa 3.2

Combine $x$ e $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Etapa 3.3

Combine $e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Etapa 5.2

Multiplique $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ por $1$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Etapa 7

Deixe $u = - 2 x$ . Depois, $d u = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Deixe $u = - 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Diferencie $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 7.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 7.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Etapa 8.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Etapa 10

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Etapa 11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Etapa 11.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Etapa 12

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Etapa 13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Reescreva $2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ como $2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Etapa 13.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Etapa 13.2.2

Combine $e^{- 2 x}$ e $\frac{x}{2}$ .

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Etapa 13.2.3

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 x$ .

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Etapa 15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2}) + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Etapa 15.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ para o numerador.

$2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Etapa 15.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Etapa 15.2.3

Reescreva a expressão.

$- e^{- 2 x} x + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Etapa 15.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{e^{- 2 x}}{4}$ para o numerador.

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Etapa 15.3.2

Fatore $2$ de $4$ .

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{2 (2)} + C$

Etapa 15.3.3

Cancele o fator comum.

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 15.3.4

Reescreva a expressão.

$- e^{- 2 x} x + \frac{- e^{- 2 x}}{2} + C$

Etapa 15.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- e^{- 2 x} x - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Etapa 15.5

Combine $- e^{- 2 x} x$ e $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$ usando um denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.5.1

Mova $e^{- 2 x}$ .

$- x e^{- 2 x} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Etapa 15.5.2

Para escrever $- x e^{- 2 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- x e^{- 2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Etapa 15.5.3

Combine $- x e^{- 2 x}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- x e^{- 2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Etapa 15.5.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- x e^{- 2 x} \cdot 2 - e^{- 2 x}}{2} + C$

Etapa 15.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.6.1

Fatore $e^{- 2 x}$ de $- x e^{- 2 x} \cdot 2 - e^{- 2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.6.1.1

Fatore $e^{- 2 x}$ de $- x e^{- 2 x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2) - e^{- 2 x}}{2} + C$

Etapa 15.6.1.2

Fatore $e^{- 2 x}$ de $- e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot - 1}{2} + C$

Etapa 15.6.1.3

Fatore $e^{- 2 x}$ de $e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2 - 1)}{2} + C$

Etapa 15.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{2} + C$

Etapa 15.7

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x) - 1)}{2} + C$

Etapa 15.8

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x) - 1 (1))}{2} + C$

Etapa 15.9

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x + 1))}{2} + C$

Etapa 15.10

Reescreva $- (2 x + 1)$ como $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 1 (2 x + 1))}{2} + C$

Etapa 15.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C$

Etapa 16

Remova os parênteses.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x + 1) + C$