Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} + 2 x^{4} + 12 x^{3}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{10} x^{5} + 2 x^{4} + 12 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $\frac{1}{10}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{10} x^{5}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.3

Combine $5$ e $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.4

Combine $\frac{5}{10}$ e $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.5

Cancele o fator comum de $5$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.5.1

Fatore $5$ de $5 x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.5.2.1

Fatore $5$ de $10$ .

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{4}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{x^{4}}{2} + 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{x^{4}}{2} + 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [12 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{3}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} + 8 x^{3} + 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{x^{4}}{2} + 8 x^{3} + 12 (3 x^{2})$

Etapa 1.1.1.4.3

Multiplique $3$ por $12$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} + 8 x^{3} + 36 x^{2}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{4}}{2} + 8 x^{3} + 36 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{4}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2.4

Combine $\frac{4}{2}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2.5

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.5.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2.5.2.4

Divida $2 x^{3}$ por $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{3}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$2 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36 x^{2}$ em relação a $x$ é $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{3} + 24 x^{2} + 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x^{3} + 24 x^{2} + 36 (2 x)$

Etapa 1.1.2.4.3

Multiplique $2$ por $36$ .

$f'' (x) = 2 x^{3} + 24 x^{2} + 72 x$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x^{3} + 24 x^{2} + 72 x$ .

$2 x^{3} + 24 x^{2} + 72 x$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x^{3} + 24 x^{2} + 72 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$2 x^{3} + 24 x^{2} + 72 x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{3} + 24 x^{2} + 72 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) + 24 x^{2} + 72 x = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $2 x$ de $24 x^{2}$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (12 x) + 72 x = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $2 x$ de $72 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (12 x) + 2 x (36) = 0$

Etapa 1.2.2.1.4

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{2}) + 2 x (12 x)$ .

$2 x (x^{2} + 12 x) + 2 x (36) = 0$

Etapa 1.2.2.1.5

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{2} + 12 x) + 2 x (36)$ .

$2 x (x^{2} + 12 x + 36) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.2.2.2.1

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$2 x (x^{2} + 12 x + 6^{2}) = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

Etapa 1.2.2.2.3

Reescreva o polinômio.

$2 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Etapa 1.2.2.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 6$ .

$2 x {(x + 6)}^{2} = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

${(x + 6)}^{2} = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina ${(x + 6)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina ${(x + 6)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva ${(x + 6)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 1.2.5.2.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 x {(x + 6)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 6$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 6)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 8$ na expressão.

$f'' (- 8) = 2 {(- 8)}^{3} + 24 {(- 8)}^{2} + 72 (- 8)$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $3$ .

$f'' (- 8) = 2 \cdot - 512 + 24 {(- 8)}^{2} + 72 (- 8)$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 512$ .

$f'' (- 8) = - 1024 + 24 {(- 8)}^{2} + 72 (- 8)$

Etapa 4.2.1.3

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$f'' (- 8) = - 1024 + 24 \cdot 64 + 72 (- 8)$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $24$ por $64$ .

$f'' (- 8) = - 1024 + 1536 + 72 (- 8)$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique $72$ por $- 8$ .

$f'' (- 8) = - 1024 + 1536 - 576$

Etapa 4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.2.1

Some $- 1024$ e $1536$ .

$f'' (- 8) = 512 - 576$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $576$ de $512$ .

$f'' (- 8) = - 64$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- 64$ .

$- 64$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - 6)$ porque $f'' (- 8)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 6)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 6, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f'' (- 3) = 2 {(- 3)}^{3} + 24 {(- 3)}^{2} + 72 (- 3)$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f'' (- 3) = 2 \cdot - 27 + 24 {(- 3)}^{2} + 72 (- 3)$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 27$ .

$f'' (- 3) = - 54 + 24 {(- 3)}^{2} + 72 (- 3)$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f'' (- 3) = - 54 + 24 \cdot 9 + 72 (- 3)$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $24$ por $9$ .

$f'' (- 3) = - 54 + 216 + 72 (- 3)$

Etapa 5.2.1.5

Multiplique $72$ por $- 3$ .

$f'' (- 3) = - 54 + 216 - 216$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Some $- 54$ e $216$ .

$f'' (- 3) = 162 - 216$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $216$ de $162$ .

$f'' (- 3) = - 54$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 54$ .

$- 54$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- 6, 0)$ porque $f'' (- 3)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- 6, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = 2 {(2)}^{3} + 24 {(2)}^{2} + 72 (2)$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$f'' (2) = 2 {(2)}^{3} + 24 {(2)}^{2} + 72 (2)$

Etapa 6.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (2) = 2^{1 + 3} + 24 {(2)}^{2} + 72 (2)$

Etapa 6.2.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$f'' (2) = 2^{4} + 24 {(2)}^{2} + 72 (2)$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f'' (2) = 16 + 24 {(2)}^{2} + 72 (2)$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (2) = 16 + 24 \cdot 4 + 72 (2)$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $24$ por $4$ .

$f'' (2) = 16 + 96 + 72 (2)$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique $72$ por $2$ .

$f'' (2) = 16 + 96 + 144$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Some $16$ e $96$ .

$f'' (2) = 112 + 144$

Etapa 6.2.2.2

Some $112$ e $144$ .

$f'' (2) = 256$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $256$ .

$256$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 6)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para baixo em $(- 6, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8