Cálculo Exemplos

$\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot 2 k$

Etapa 1

Divida a soma para tornar o valor inicial de $k$ igual a $1$ .

$\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) = \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) - \sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$

Etapa 2

Avalie $\sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $2$ da soma.

$(2) \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} k$

Etapa 2.2

Expanda a série para cada valor de $k$ .

${(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + \dots + {(- 1)}^{12} \cdot (2 \cdot 12)$

Etapa 2.3

Simplifique a forma expandida.

$12$

Etapa 3

Avalie $\sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Expanda a série para cada valor de $k$ .

${(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$- 1 \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 3.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 1 \cdot 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 3.2.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 2 + 1 \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 3.2.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$- 2 + 1 \cdot 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 3.2.6

Multiplique $1$ por $4$ .

$- 2 + 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 3.2.7

Some $- 2$ e $4$ .

$2 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 3.2.8

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$2 - 1 \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 3.2.9

Multiplique $2$ por $3$ .

$2 - 1 \cdot 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 3.2.10

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$2 - 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 3.2.11

Subtraia $6$ de $2$ .

$- 4 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 3.2.12

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$- 4 + 1 \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 3.2.13

Multiplique $2$ por $4$ .

$- 4 + 1 \cdot 8$

Etapa 3.2.14

Multiplique $1$ por $8$ .

$- 4 + 8$

Etapa 3.2.15

Some $- 4$ e $8$ .

$4$

Etapa 4

Substitua as somas pelos valores encontrados.

$12 - 4$

Etapa 5

Subtraia $4$ de $12$ .

$8$