Cálculo Exemplos

12 \sum k = 5 {(- 1)}^{k} \cdot 2 k

$\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot 2 k$

Etapa 1

Divida a soma para tornar o valor inicial de

k

$k$ igual a

1

$1$ .

12 \sum k = 5 {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) = 12 \sum k = 1 {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) - 4 \sum k = 1 {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)

$\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) = \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) - \sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$

Etapa 2

Avalie

12 \sum k = 1 {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)

$\sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore

2

$2$ da soma.

(2) 12 \sum k = 1 {(- 1)}^{k} k

$(2) \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} k$

Etapa 2.2

Expanda a série para cada valor de

k

$k$ .

{(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + \dots + {(- 1)}^{12} \cdot (2 \cdot 12)

${(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + \dots + {(- 1)}^{12} \cdot (2 \cdot 12)$

Etapa 2.3

Simplifique a forma expandida.

12

$12$

12

$12$

Etapa 3

Avalie

4 \sum k = 1 {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)

$\sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Expanda a série para cada valor de

k

$k$ .

{(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

${(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Eleve

- 1

$- 1$ à potência de

1

$1$ .

- 1 \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 1 \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 3.2.2

Multiplique

2

$2$ por

1

$1$ .

- 1 \cdot 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 1 \cdot 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 3.2.3

Multiplique

- 1

$- 1$ por

2

$2$ .

- 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 3.2.4

Eleve

- 1

$- 1$ à potência de

2

$2$ .

- 2 + 1 \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 2 + 1 \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 3.2.5

Multiplique

2

$2$ por

2

$2$ .

- 2 + 1 \cdot 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 2 + 1 \cdot 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 3.2.6

Multiplique

$1$ por

$4$ .

$- 2 + 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 3.2.7

Some

$- 2$ e

$4$ .

$2 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 3.2.8

Eleve

$- 1$ à potência de

$3$ .

$2 - 1 \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 3.2.9

Multiplique

$2$ por

$3$ .

$2 - 1 \cdot 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 3.2.10

Multiplique

$- 1$ por

$6$ .

$2 - 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 3.2.11

Subtraia

$6$ de

$2$ .

$- 4 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 3.2.12

Eleve

$- 1$ à potência de

$4$ .

$- 4 + 1 \cdot (2 \cdot 4)$

Etapa 3.2.13

Multiplique

$2$ por

$4$ .

$- 4 + 1 \cdot 8$

Etapa 3.2.14

Multiplique

$1$ por

$8$ .

$- 4 + 8$

Etapa 3.2.15

Some

$- 4$ e

$8$ .

$4$

Etapa 4

Substitua as somas pelos valores encontrados.

$12 - 4$

Etapa 5

Subtraia

$4$ de

$12$ .

$8$