Cálculo Exemplos

$x^{2} e^{k x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{k x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{k x}] + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = k x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $k x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $k x$ .

$x^{2} (e^{k x} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $k$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $k x$ em relação a $x$ é $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{k x} (k \frac{d}{d x} [x])) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (e^{k x} (k \cdot 1)) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3

Multiplique $k$ por $1$ .

$x^{2} (e^{k x} k) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (e^{k x} k) + e^{k x} (2 x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os termos.

$e^{k x} x^{2} k + 2 e^{k x} x$

Etapa 4.2

Reordene os fatores em $e^{k x} x^{2} k + 2 e^{k x} x$ .

$x^{2} k e^{k x} + 2 x e^{k x}$