Cálculo Exemplos

$\int \frac{5 x e^{3 x^{2}}}{\sqrt{2 - 3 e^{3 x^{2}}}} d x$

Etapa 1

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int \frac{x e^{3 x^{2}}}{\sqrt{2 - 3 e^{3 x^{2}}}} d x$

Etapa 2

Deixe $u_{2} = 2 - 3 e^{3 x^{2}}$ . Depois, $d u_{2} = - 18 x e^{3 x^{2}} d x$ , então, $- \frac{1}{18} d u_{2} = x e^{3 x^{2}} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{2} = 2 - 3 e^{3 x^{2}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $2 - 3 e^{3 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 3 e^{3 x^{2}}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - 3 e^{3 x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$

Etapa 2.1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 e^{3 x^{2}}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x^{2}$ .

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Etapa 2.1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 x^{2}$ .

$0 - 3 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Etapa 2.1.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$0 - 3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Etapa 2.1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x^{2}$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Etapa 2.1.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Etapa 2.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} (3 (2 x)))$

Etapa 2.1.3.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} (6 x))$

Etapa 2.1.3.6

Multiplique $6$ por $- 3$ .

$0 - 18 e^{3 x^{2}} x$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.4.1

Subtraia $18 e^{3 x^{2}} x$ de $0$ .

$- 18 e^{3 x^{2}} x$

Etapa 2.1.4.2

Reordene os fatores em $- 18 e^{3 x^{2}} x$ .

$- 18 x e^{3 x^{2}}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$5 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} \cdot \frac{1}{- 18} d u_{2}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$5 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} (- \frac{1}{18}) d u_{2}$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u_{2}}}$ por $\frac{1}{18}$ .

$5 \int - \frac{1}{\sqrt{u_{2}} \cdot 18} d u_{2}$

Etapa 3.3

Mova $18$ para a esquerda de $\sqrt{u_{2}}$ .

$5 \int - \frac{1}{18 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$5 (- \int \frac{1}{18 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Etapa 5

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- 5 \int \frac{1}{18 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Etapa 6

Como $\frac{1}{18}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{18}$ para fora da integral.

$- 5 (\frac{1}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1

Simplifique.

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Etapa 7.1.1

Combine $\frac{1}{18}$ e $- 5$ .

$\frac{- 5}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Etapa 7.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Etapa 7.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 7.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{2}}$ como ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{5}{18} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Etapa 7.2.2

Mova ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{5}{18} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Etapa 7.2.3

Multiplique os expoentes em ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 7.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{18} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Etapa 7.2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \frac{5}{18} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Etapa 7.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5}{18} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{5}{18} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Reescreva $- \frac{5}{18} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$ como $- \frac{5}{18} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{5}{18} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\frac{5}{18}) {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 9.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{5}{18}$ .

$\frac{- 2 \cdot 5}{18} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 9.2.3

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$\frac{- 10}{18} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 9.2.4

Cancele o fator comum de $- 10$ e $18$ .

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Etapa 9.2.4.1

Fatore $2$ de $- 10$ .

$\frac{2 (- 5)}{18} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 9.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.4.2.1

Fatore $2$ de $18$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 9.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 9.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 5}{9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 9.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5}{9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 - 3 e^{3 x^{2}}$ .

$- \frac{5}{9} {(2 - 3 e^{3 x^{2}})}^{\frac{1}{2}} + C$