Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $\frac{1}{10}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{10} x^{5}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 1.1.2.3

Combine $5$ e $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 1.1.2.4

Combine $\frac{5}{10}$ e $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 1.1.2.5

Cancele o fator comum de $5$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Fatore $5$ de $5 x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 1.1.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.2.1

Fatore $5$ de $10$ .

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 1.1.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 1.1.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{x^{4}}{2} - (4 x^{3})$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} - 4 x^{3}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{4}}{2} - 4 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{4}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Etapa 1.2.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Etapa 1.2.2.4

Combine $\frac{4}{2}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Etapa 1.2.2.5

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.5.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Etapa 1.2.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Etapa 1.2.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Etapa 1.2.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Etapa 1.2.2.5.2.4

Divida $2 x^{3}$ por $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x^{3} - 12 x^{2}$ .

$2 x^{3} - 12 x^{2}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$2 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Etapa 2.2

Fatore $2 x^{2}$ de $2 x^{3} - 12 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $2 x^{2}$ de $2 x^{3}$ .

$2 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $2 x^{2}$ de $- 12 x^{2}$ .

$2 x^{2} (x) + 2 x^{2} (- 6) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $2 x^{2}$ de $2 x^{2} (x) + 2 x^{2} (- 6)$ .

$2 x^{2} (x - 6) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 6 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 x^{2} (x - 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 6$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $0$ em $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot {(0)}^{5} - {(0)}^{4}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot 0 - {(0)}^{4}$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $\frac{1}{10}$ por $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{4}$

Etapa 3.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 0$

Etapa 3.1.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 3.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 3.3

Substitua $6$ em $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f (6) = \frac{1}{10} \cdot {(6)}^{5} - {(6)}^{4}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $5$ .

$f (6) = \frac{1}{10} \cdot 7776 - {(6)}^{4}$

Etapa 3.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $10$ .

$f (6) = \frac{1}{2 (5)} \cdot 7776 - {(6)}^{4}$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Fatore $2$ de $7776$ .

$f (6) = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 3888) - {(6)}^{4}$

Etapa 3.3.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$f (6) = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 3888) - {(6)}^{4}$

Etapa 3.3.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$f (6) = \frac{1}{5} \cdot 3888 - {(6)}^{4}$

Etapa 3.3.2.1.3

Combine $\frac{1}{5}$ e $3888$ .

$f (6) = \frac{3888}{5} - {(6)}^{4}$

Etapa 3.3.2.1.4

Eleve $6$ à potência de $4$ .

$f (6) = \frac{3888}{5} - 1 \cdot 1296$

Etapa 3.3.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $1296$ .

$f (6) = \frac{3888}{5} - 1296$

Etapa 3.3.2.2

Para escrever $- 1296$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{3888}{5} - 1296 \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 3.3.2.3

Combine $- 1296$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5}$

Etapa 3.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (6) = \frac{3888 - 1296 \cdot 5}{5}$

Etapa 3.3.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.5.1

Multiplique $- 1296$ por $5$ .

$f (6) = \frac{3888 - 6480}{5}$

Etapa 3.3.2.5.2

Subtraia $6480$ de $3888$ .

$f (6) = \frac{- 2592}{5}$

Etapa 3.3.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (6) = - \frac{2592}{5}$

Etapa 3.3.2.7

A resposta final é $- \frac{2592}{5}$ .

$- \frac{2592}{5}$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $6$ em $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ é $(6, - \frac{2592}{5})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(6, - \frac{2592}{5})$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 0), (6, - \frac{2592}{5})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.1$ na expressão.

$f'' (- 0.1) = 2 {(- 0.1)}^{3} - 12 {(- 0.1)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 0.1$ à potência de $3$ .

$f'' (- 0.1) = 2 \cdot - 0.001 - 12 {(- 0.1)}^{2}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.002 - 12 {(- 0.1)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 0.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.002 - 12 \cdot 0.01$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- 12$ por $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.002 - 0.12$

Etapa 5.2.2

Subtraia $0.12$ de $- 0.002$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.122$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 0.122$ .

$- 0.122$

Etapa 5.3

Em $- 0.1$ , a segunda derivada é $- 0.122$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(0, 6)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f'' (3) = 2 {(3)}^{3} - 12 {(3)}^{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f'' (3) = 2 \cdot 27 - 12 {(3)}^{2}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $2$ por $27$ .

$f'' (3) = 54 - 12 {(3)}^{2}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f'' (3) = 54 - 12 \cdot 9$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 12$ por $9$ .

$f'' (3) = 54 - 108$

Etapa 6.2.2

Subtraia $108$ de $54$ .

$f'' (3) = - 54$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 54$ .

$- 54$

Etapa 6.3

Em $3$ , a segunda derivada é $- 54$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(0, 6)$ .

Decréscimo em $(0, 6)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(6, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $6.1$ na expressão.

$f'' (6.1) = 2 {(6.1)}^{3} - 12 {(6.1)}^{2}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $6.1$ à potência de $3$ .

$f'' (6.1) = 2 \cdot 226.981 - 12 {(6.1)}^{2}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $2$ por $226.981$ .

$f'' (6.1) = 453.962 - 12 {(6.1)}^{2}$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $6.1$ à potência de $2$ .

$f'' (6.1) = 453.962 - 12 \cdot 37.21$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $- 12$ por $37.21$ .

$f'' (6.1) = 453.962 - 446.52$

Etapa 7.2.2

Subtraia $446.52$ de $453.962$ .

$f'' (6.1) = 7.442$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $7.442$ .

$7.442$

Etapa 7.3

Em $6.1$ , a segunda derivada é $7.442$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(6, \infty)$ .

Acréscimo em $(6, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(6, - \frac{2592}{5})$ .

$(6, - \frac{2592}{5})$

Etapa 9