Cálculo Exemplos

$\frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}} d x$

Etapa 4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 - x) (1 + x)}} d x$

Etapa 5

Complete o quadrado.

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Etapa 5.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.1

Expanda $(1 - x) (1 + x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (1 + x) - x (1 + x)$

Etapa 5.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 x - x (1 + x)$

Etapa 5.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 x - x \cdot 1 - x \cdot x$

Etapa 5.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.2.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$1 + 1 x - x \cdot 1 - x \cdot x$

Etapa 5.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$1 + x - x \cdot 1 - x \cdot x$

Etapa 5.1.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 + x - x - x \cdot x$

Etapa 5.1.2.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.2.1.4.1

Mova $x$ .

$1 + x - x - (x \cdot x)$

Etapa 5.1.2.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$1 + x - x - x^{2}$

Etapa 5.1.2.2

Subtraia $x$ de $x$ .

$1 + 0 - x^{2}$

Etapa 5.1.2.3

Some $1$ e $0$ .

$1 - x^{2}$

Etapa 5.1.3

Reordene $1$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 1$

Etapa 5.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

Etapa 5.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 5.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 5.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Fatore $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Etapa 5.4.2.1.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Etapa 5.4.2.2

Reescreva $- 1 \cdot 0$ como $- 0$ .

$d = - 0$

Etapa 5.4.2.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$d = 0$

Etapa 5.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 5.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Etapa 5.5.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

Etapa 5.5.2.1.3

Divida $0$ por $- 4$ .

$e = 1 - 0$

Etapa 5.5.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e = 1 + 0$

Etapa 5.5.2.2

Some $1$ e $0$ .

$e = 1$

Etapa 5.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- {(x + 0)}^{2} + 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 1}} d x$

Etapa 6

Deixe $u = x + 0$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = x + 0$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $x + 0$ .

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

Etapa 6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 0$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

Etapa 6.1.4

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 6.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u$

Etapa 7.2

Reordene $- u^{2}$ e $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ com relação a $u$ é $\arcsin (u)$

$\arcsin (u) + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 0$ .

$\arcsin (x + 0) + C$

Etapa 10

Some $x$ e $0$ .

$\arcsin (x) + C$

Etapa 11

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$ .

$F (x) =$ $\arcsin (x) + C$