Cálculo Exemplos

$\sqrt{x^{2} - 1}$

Etapa 1

Escreva $\sqrt{x^{2} - 1}$ como uma função.

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \sqrt{x^{2} - 1} d x$

Etapa 4

Deixe $x = \sec (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ é positivo.

$\int \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Simplifique $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

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Etapa 5.1.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \sqrt{\tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 5.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

Etapa 5.2.2

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

Etapa 5.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Etapa 5.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Etapa 6

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 7

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 8

Simplifique os termos.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 8.2

Simplifique cada termo.

$\int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t$

Etapa 11

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t$

Etapa 12

Fatore $\sec (t)$ de $\sec^{3} (t)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Etapa 13

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sec (t)$ e $d v = \sec^{2} (t)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 14

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

Etapa 15

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

Etapa 16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Etapa 17

Simplifique a expressão.

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Etapa 17.1

Some $1$ e $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Etapa 17.2

Reordene $\tan^{2} (t)$ e $\sec (t)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

Etapa 18

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 19

Simplifique multiplicando.

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Etapa 19.1

Reescreva a exponenciação como um produto.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

Etapa 19.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Etapa 19.3

Reordene $\sec (t)$ e $- 1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Etapa 20

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

Etapa 21

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

Etapa 22

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Etapa 23

Some $1$ e $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

Etapa 24

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 25

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Etapa 26

Some $2$ e $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Etapa 27

Divida a integral única em várias integrais.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 28

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 29

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 30

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 30.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

Etapa 30.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

Etapa 31

Ao resolver $\int \sec^{3} (t) d t$ , descobrimos que $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C$

Etapa 32

Multiplique $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ por $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C$

Etapa 33

Simplifique.

$- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Etapa 34

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $arcsec (x)$ .

$- \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |) + \frac{1}{2} (\sec (arcsec (x)) \tan (arcsec (x)) + \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |)) + C$

Etapa 35

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |) + \frac{1}{2} (\sec (arcsec (x)) \tan (arcsec (x)) + \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |)) + C$