Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 2} \frac{2 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 6}{x - 2}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 6}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - lim_{x \to 2} 5 x^{2} + lim_{x \to 2} 5 x - lim_{x \to 2} 6}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 5 x^{2} + lim_{x \to 2} 5 x - lim_{x \to 2} 6}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 5 x^{2} + lim_{x \to 2} 5 x - lim_{x \to 2} 6}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 5 x - lim_{x \to 2} 6}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 5 x - lim_{x \to 2} 6}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.6

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 6}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.7

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.8

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 2^{3} - 5 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.8.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2^{2} + 5 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.8.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.9

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.9.1.1

Multiplique $2$ por $2^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.2.9.1.1.1

Multiplique $2$ por $2^{3}$ .

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Etapa 1.1.2.9.1.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.9.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2^{1 + 3} - 5 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.9.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$\frac{2^{4} - 5 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.9.1.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{16 - 5 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.9.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{16 - 5 \cdot 4 + 5 \cdot 2 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.9.1.4

Multiplique $- 5$ por $4$ .

$\frac{16 - 20 + 5 \cdot 2 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.9.1.5

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{16 - 20 + 10 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.9.1.6

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{16 - 20 + 10 - 6}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.9.2

Subtraia $20$ de $16$ .

$\frac{- 4 + 10 - 6}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.9.3

Some $- 4$ e $10$ .

$\frac{6 - 6}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.9.4

Subtraia $6$ de $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 6}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 6]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 6]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Etapa 1.3.5.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x^{2} - 10 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x^{2} - 10 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.5.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x^{2} - 10 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.6

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x^{2} - 10 x + 5 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.7

Some $6 x^{2} - 10 x + 5$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x^{2} - 10 x + 5}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x^{2} - 10 x + 5}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x^{2} - 10 x + 5}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.10

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x^{2} - 10 x + 5}{1 + 0}$

Etapa 1.3.11

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x^{2} - 10 x + 5}{1}$

Etapa 1.4

Divida $6 x^{2} - 10 x + 5$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} 6 x^{2} - 10 x + 5$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$lim_{x \to 2} 6 x^{2} - lim_{x \to 2} 10 x + lim_{x \to 2} 5$

Etapa 2.2

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$6 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 10 x + lim_{x \to 2} 5$

Etapa 2.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$6 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 10 x + lim_{x \to 2} 5$

Etapa 2.4

Mova o termo $10$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$6 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 5$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$6 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 2} x + 5$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$6 \cdot 2^{2} - 10 lim_{x \to 2} x + 5$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$6 \cdot 2^{2} - 10 \cdot 2 + 5$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$6 \cdot 4 - 10 \cdot 2 + 5$

Etapa 4.1.2

Multiplique $6$ por $4$ .

$24 - 10 \cdot 2 + 5$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 10$ por $2$ .

$24 - 20 + 5$

Etapa 4.2

Subtraia $20$ de $24$ .

$4 + 5$

Etapa 4.3

Some $4$ e $5$ .

$9$