Cálculo Exemplos

$\int x^{7} \cos (x^{4}) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Depois, $d u_{1} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int {\sqrt{u_{1}}}^{6} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Reescreva ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ como ${u_{1}}^{3}$ .

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Etapa 2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $6$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{6}{2}} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.1.4

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

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Etapa 2.1.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\int {u_{1}}^{\frac{3}{1}} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.1.4.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.2

Reescreva ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ como ${u_{1}}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{4}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.2.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 2.2.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{2}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.2.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{2}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e ${u_{1}}^{3}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{3}}{2} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Etapa 2.4

Combine $\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ e $\cos ({u_{1}}^{2})$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{2})}{2} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Etapa 4

Deixe $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Depois, $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u_{2}}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 5.2

Combine $\frac{u_{2}}{2}$ e $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u_{2} \cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \int u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 8

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = u_{2}$ e $dv = \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (u_{2} \sin (u_{2}) - \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 9

A integral de $\sin (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (u_{2} \sin (u_{2}) - (- \cos (u_{2}) + C))$

Etapa 10

Reescreva $\frac{1}{4} (u_{2} \sin (u_{2}) - (- \cos (u_{2}) + C))$ como $\frac{1}{4} (u_{2} \sin (u_{2}) + \cos (u_{2})) + C$ .

$\frac{1}{4} (u_{2} \sin (u_{2}) + \cos (u_{2})) + C$

Etapa 11

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 11.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} ({u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{2}) + \cos ({u_{1}}^{2})) + C$

Etapa 11.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} ({(x^{2})}^{2} \sin ({(x^{2})}^{2}) + \cos ({(x^{2})}^{2})) + C$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 12.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (x^{2 \cdot 2} \sin ({(x^{2})}^{2}) + \cos ({(x^{2})}^{2})) + C$

Etapa 12.1.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin ({(x^{2})}^{2}) + \cos ({(x^{2})}^{2})) + C$

Etapa 12.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 12.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{2 \cdot 2}) + \cos ({(x^{2})}^{2})) + C$

Etapa 12.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{4}) + \cos ({(x^{2})}^{2})) + C$

Etapa 12.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 12.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{4}) + \cos (x^{2 \cdot 2})) + C$

Etapa 12.1.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{4}) + \cos (x^{4})) + C$

Etapa 12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{4})) + \frac{1}{4} \cos (x^{4}) + C$

Etapa 12.3

Multiplique $\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{4}))$ .

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Etapa 12.3.1

Combine $x^{4}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{4}}{4} \sin (x^{4}) + \frac{1}{4} \cos (x^{4}) + C$

Etapa 12.3.2

Combine $\frac{x^{4}}{4}$ e $\sin (x^{4})$ .

$\frac{x^{4} \sin (x^{4})}{4} + \frac{1}{4} \cos (x^{4}) + C$

Etapa 12.4

Combine $\frac{1}{4}$ e $\cos (x^{4})$ .

$\frac{x^{4} \sin (x^{4})}{4} + \frac{\cos (x^{4})}{4} + C$

Etapa 13

Reordene os termos.

$\frac{1}{4} x^{4} \sin (x^{4}) + \frac{1}{4} \cos (x^{4}) + C$